Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2013) – pola figur

Odpowiedź: P, P

1. Oznaczmy $AB = \textcolor{#16A06A}{a}$ oraz wysokość równoległoboku (odległość między $AB$ a $DC$) przez $\textcolor{#E0453A}{h}$. Pole równoległoboku: $\textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{h}$.
2. Zdanie 1. Oba trójkąty mają tę samą podstawę $AB = \textcolor{#16A06A}{a}$. Ich trzecie wierzchołki ($L$ i $D$) leżą na tej samej prostej $DC$, równoległej do $AB$.
3. Wysokość obu trójkątów jest więc taka sama i równa $\textcolor{#E0453A}{h}$, a zatem pola są równe: $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h}$ ✓ — prawda.
4. Zdanie 2. Trójkąt $AKD$ ma podstawę $AK = \tfrac12 \textcolor{#16A06A}{a}$ (bo $K$ jest środkiem $AB$) i wysokość $\textcolor{#E0453A}{h}$.
5. $P_{AKD} = \tfrac12 \cdot \tfrac12\textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = \tfrac14 \textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h}$.
6. Stosunek: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h}}{\tfrac14 \textcolor{#16A06A}{a}\textcolor{#E0453A}{h}} = 4$ ✓ — prawda.
7. Odpowiedzi: P, P. (Informacja „$AB$ dwa razy dłuższy od $AD$” okazała się w obu zdaniach zbędna.)

💡 Wskazówka: Reguła warta zapamiętania: trójkąty o wspólnej podstawie i wierzchołkach na prostej do niej równoległej mają równe pola — niezależnie od tego, jak bardzo są „przechylone”.

⚠ Najczęstszy błąd: próba wykorzystania warunku $AB = 2 \cdot AD$ i gubienie się w rachunkach. Część danych w zadaniach bywa rozpraszaczem — warto sprawdzić, czy są potrzebne.