Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2016) – pola figur

Punkty E i F są środkami boków BC i CD kwadratu ABCD (przyjmij oznaczenia: A lewy dolny, B prawy dolny, C prawy górny, D lewy górny). Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 17 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Punkty

E

F

są środkami boków

BC

CD

kwadratu

ABCD

(przyjmij oznaczenia:

A

lewy dolny,

B

prawy dolny,

C

prawy górny,

D

lewy górny). Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole trójkąta $FEC$ stanowi $\dfrac{1}{8}$ pola kwadratu $ABCD$ .	P	F
Pole czworokąta $DBEF$ stanowi $\dfrac{3}{8}$ pola kwadratu $ABCD$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Oznaczmy bok kwadratu przez $\textcolor{#16A06A}{a}$ , więc pole kwadratu to $\textcolor{#16A06A}{a}^2$ .
Zdanie 1 — trójkąt $FEC$ . Jest prostokątny (kąt prosty przy $C$ ), a jego przyprostokątne to połowy boków: $FC = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}}$ i $EC = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}}$ .
$P_{FEC} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}^2}{8}$ — czyli $\tfrac18$ pola kwadratu ✓ — prawda.
Zdanie 2 — czworokąt $DBEF$ . Najłatwiej policzyć go jako kwadrat minus dwa trójkąty.
Odcinamy trójkąt $FEC$ (pole $\tfrac18 \textcolor{#16A06A}{a}^2$ ) oraz trójkąt $ABD$ — połowę kwadratu odciętą przekątną $DB$ , o polu $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{a}^2$ .
$P_{DBEF} = \textcolor{#16A06A}{a}^2 - \tfrac12 \textcolor{#16A06A}{a}^2 - \tfrac18 \textcolor{#16A06A}{a}^2 = \tfrac{8 - 4 - 1}{8}\textcolor{#16A06A}{a}^2 = \tfrac38 \textcolor{#16A06A}{a}^2$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Pole figury o dziwnym kształcie prawie zawsze najłatwiej policzyć jako całość minus kawałki, a nie bezpośrednio. Warto wcześniej podstawić konkretny bok (np. $a = 4$ ), żeby rachunki były na liczbach.

⚠ Najczęstszy błąd: próba liczenia pola czworokąta $DBEF$ wprost, przez dzielenie go na trójkąty. Da się, ale rachunki są znacznie dłuższe i łatwo o pomyłkę.