Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2014) – prostopadłościan i sześcian

Szymon wykonał szkielet prostopadłościanu: układał i sklejał ze sobą kolejno drewniane klocki sześcienne o krawędzi 4 cm wzdłuż każdej krawędzi prostopadłościennego pudełka o wymiarach 36 cm, 28 cm, 20 cm. Ile klocków łącznie zużył Szymon na wykonanie całego szkieletu?

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 17 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Szymon wykonał szkielet prostopadłościanu: układał i sklejał ze sobą kolejno drewniane klocki sześcienne o krawędzi 4 cm wzdłuż każdej krawędzi prostopadłościennego pudełka o wymiarach 36 cm, 28 cm, 20 cm. Ile klocków łącznie zużył Szymon na wykonanie całego szkieletu?

A. $84$
B. $76$
C. $68$
D. $60$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — ile klocków mieści się wzdłuż każdej krawędzi. Dzielimy wymiary przez krawędź klocka:
$36 : 4 = \textcolor{#16A06A}{9}$ , $28 : 4 = \textcolor{#16A06A}{7}$ , $20 : 4 = \textcolor{#16A06A}{5}$ .
Krok 2 — naiwne zliczenie. Krawędzi każdego kierunku są cztery:
$4 \cdot \textcolor{#16A06A}{9} + 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{7} + 4 \cdot \textcolor{#16A06A}{5} = 36 + 28 + 20 = \textcolor{#E0453A}{84}$ .
Krok 3 — poprawka na narożniki. Klocek w narożniku należy jednocześnie do trzech krawędzi, więc policzyliśmy go trzy razy zamiast raz — o dwa razy za dużo.
Narożników jest $\textcolor{#16A06A}{8}$ , więc nadmiar wynosi $\textcolor{#16A06A}{8} \cdot 2 = \textcolor{#E0453A}{16}$ .
Wynik: $\textcolor{#E0453A}{84} - \textcolor{#E0453A}{16} = 68$ klocków.
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Można też liczyć bez poprawki: osiem klocków narożnych osobno, a na każdej krawędzi tylko klocki między narożnikami: $8 + 4 \cdot 7 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 3 = 8 + 28 + 20 + 12 = 68$ ✓

⚠ Najczęstszy błąd: podanie $84$ (odpowiedź A) — czyli zapomnienie, że klocki narożne są wspólne dla trzech krawędzi. To właśnie na tym zadanie łapie.