Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2013) – graniastosłupy i ostrosłupy

Odpowiedź: P, P

1. Oznaczmy bok kwadratu przez $\textcolor{#16A06A}{a}$.
2. Zdanie $\boldsymbol{1}$. Każdy trójkąt jest zbudowany na boku kwadratu, więc jego podstawa ma długość $\textcolor{#16A06A}{a}$. Skoro trójkąt jest równoboczny, jego ramiona też mają $\textcolor{#16A06A}{a}$ — a ramiona to krawędzie boczne ostrosłupa.
3. Wszystkie krawędzie mają więc długość $\textcolor{#16A06A}{a}$ — prawda.
4. Zdanie $\boldsymbol{2}$. Wysokość ściany bocznej (trójkąta równobocznego o boku $\textcolor{#16A06A}{a}$):
5. $\textcolor{#E0453A}{h} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}\sqrt3}{2} \approx \textcolor{#E0453A}{0{,}87a}$.
6. Wysokość ostrosłupa $H$ liczymy z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $H$ i $\tfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{2}$ oraz przeciwprostokątnej $\textcolor{#E0453A}{h}$:
7. $H = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{h}^2 - \left(\tfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{2}\right)^2} = \sqrt{\tfrac{3a^2}{4} - \tfrac{a^2}{4}} = \sqrt{\tfrac{a^2}{2}} \approx 0{,}71a$.
8. $0{,}71a < \textcolor{#E0453A}{0{,}87a}$ — prawda.
9. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Wysokość ostrosłupa prawidłowego jest zawsze krótsza od wysokości ściany bocznej — bo jest przyprostokątną w trójkącie, w którym ta druga jest przeciwprostokątną. Można to stwierdzić bez żadnych rachunków.

⚠ Najczęstszy błąd: mylenie trzech różnych „wysokości”: wysokości bryły, wysokości ściany bocznej i krawędzi bocznej. W ostrosłupie prawidłowym najkrótsza jest zawsze wysokość bryły, najdłuższa — krawędź boczna.