Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2014) – graniastosłupy i ostrosłupy

Maciek rysuje siatkę ostrosłupa prawidłowego, którego podstawą jest kwadrat o środku w punkcie O i boku długości 8. Punkt E jest środkiem boku AB tego kwadratu, a W — wierzchołkiem doklejanego trójkąta. Czy trójkąt ABW o bokach długości odpowiednio: 8, 5, 5 może być ścianą boczną takiego ostrosłupa?

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 14 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Maciek rysuje siatkę ostrosłupa prawidłowego, którego podstawą jest kwadrat o środku w punkcie

O

i boku długości

8

. Punkt

E

jest środkiem boku

AB

tego kwadratu, a

W

— wierzchołkiem doklejanego trójkąta. Czy trójkąt

ABW

o bokach długości odpowiednio:

8

5

5

może być ścianą boczną takiego ostrosłupa?

T	Tak (T),	ponieważ	A.	trójkąt $ABW$ jest równoramienny.

			B.	odległość $OE$ jest mniejsza niż wysokość $EW$ trójkąta $ABW$ .
N	Nie (N),
			C.	odległość $OE$ jest większa niż wysokość $EW$ trójkąta $ABW$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: N, C

Krok $\boldsymbol{1}$ — odległość $OE$ . Punkt $O$ to środek kwadratu, $E$ — środek boku. Odległość między nimi to połowa boku:
$\textcolor{#16A06A}{|OE|} = \textcolor{#16A06A}{8} : 2 = \textcolor{#16A06A}{4}$ .
Krok $\boldsymbol{2}$ — wysokość trójkąta $ABW$ . Trójkąt jest równoramienny ( $5$ , $5$ , podstawa $8$ ), więc wysokość $EW$ dzieli podstawę na połowy:
$\textcolor{#E0453A}{|EW|} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{5}^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = \textcolor{#E0453A}{3}$ .
Krok $\boldsymbol{3}$ — dlaczego to nie może się złożyć. Po złożeniu siatki odcinek $\textcolor{#E0453A}{EW}$ podnosi się nad podstawę i tworzy trójkąt prostokątny razem z wysokością ostrosłupa $H$ oraz odcinkiem $\textcolor{#16A06A}{OE}$ :
$\textcolor{#E0453A}{|EW|}^2 = H^2 + \textcolor{#16A06A}{|OE|}^2$
Odcinek $\textcolor{#E0453A}{EW}$ jest w nim przeciwprostokątną, więc musi być dłuższy od $\textcolor{#16A06A}{OE}$ .
Tymczasem $\textcolor{#E0453A}{3} < \textcolor{#16A06A}{4}$ — ściana boczna jest za krótka, żeby sięgnąć nad środek podstawy. Taki ostrosłup nie istnieje.
Odpowiedź: N, C.

💡 Wskazówka: Warunek istnienia ostrosłupa prawidłowego czworokątnego: wysokość ściany bocznej musi być większa od połowy krawędzi podstawy. Inaczej ściany nie dosięgną do siebie na górze.

⚠ Najczęstszy błąd: sprawdzenie tylko, czy trójkąt $ABW$ w ogóle istnieje ( $5 + 5 > 8$ ✓) i odpowiedź „Tak”. Warunek trójkąta jest konieczny, ale nie wystarcza — ściana musi się jeszcze dać złożyć w bryłę.