Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2021

Zadanie z E8 (czerwiec 2021) – graniastosłupy i ostrosłupy

Siatka pewnego graniastosłupa prostego składa się z dwóch trójkątów prostokątnych i trzech prostokątów. W trójkącie będącym podstawą jedna przyprostokątna ma długość 3, a przeciwprostokątna — 5. Wysokość graniastosłupa (szerokość pasa ścian bocznych) jest równa 7. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 8 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Siatka pewnego graniastosłupa prostego składa się z dwóch trójkątów prostokątnych i trzech prostokątów. W trójkącie będącym podstawą jedna przyprostokątna ma długość

3

, a przeciwprostokątna —

5

. Wysokość graniastosłupa (szerokość pasa ścian bocznych) jest równa

7

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole największej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe $35$ .	P	F
Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $12$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Krok $\boldsymbol{1}$ — brakujący bok podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa:
$\textcolor{#16A06A}{b} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{5}^2 - \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = \textcolor{#16A06A}{4}$ .
Podstawa to więc znajomy trójkąt $\textcolor{#16A06A}{3}$ – $\textcolor{#16A06A}{4}$ – $\textcolor{#E0453A}{5}$ .
Zdanie $\boldsymbol{1}$ . Każda ściana boczna to prostokąt: bok podstawy razy wysokość $\textcolor{#E0453A}{7}$ . Największa opiera się na najdłuższym boku, czyli na $\textcolor{#E0453A}{5}$ :
$\textcolor{#E0453A}{5} \cdot \textcolor{#E0453A}{7} = 35$ ✓ — prawda.
Zdanie $\boldsymbol{2}$ . Podstawa to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $\textcolor{#16A06A}{3}$ i $\textcolor{#16A06A}{4}$ :
$P_p = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = 6$ , a nie $12$ — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Największa ściana boczna zawsze stoi na najdłuższym boku podstawy — wszystkie mają przecież tę samą wysokość. Nie trzeba liczyć wszystkich trzech.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu $2$ : pomnożenie przyprostokątnych bez dzielenia przez $2$ ( $3 \cdot 4 = 12$ ). To pole prostokąta, a nie trójkąta — i właśnie na to zadanie zastawia pułapkę.