Zadanie z E8 (grudzień 2017) – kąty w figurach

Odpowiedź: F, P

1. Kluczowa własność: przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy. Punkt przecięcia $O$ jest więc jednakowo oddalony od wszystkich czterech wierzchołków, przez co powstają cztery trójkąty równoramienne.
2. Zdanie 1 — trójkąt $DOC$. Kąt przy $O$ to $\textcolor{#16A06A}{140°}$, a boki $OD$ i $OC$ są równe.
3. Kąty przy podstawie $DC$: $(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{140°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{20°}$.
4. Kąt $DCA$ to właśnie kąt $DCO$, czyli $\textcolor{#16A06A}{20°}$ — a nie $40°$ — fałsz.
5. Zdanie 2 — trójkąt $AOD$. Kąt $AOD$ jest przyległy do kąta $DOC$: $\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{140°} = \textcolor{#16A06A}{40°}$.
6. Boki $OA$ i $OD$ też są równe, więc kąty przy podstawie $AD$: $(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{40°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{70°}$.
7. Kąt $DAC$ to kąt $DAO$, czyli $\textcolor{#16A06A}{70°}$ ✓ — prawda.
8. Odpowiedzi: F, P. Kontrola: $\textcolor{#16A06A}{20°} + \textcolor{#16A06A}{70°} = 90°$ — i rzeczywiście kąt $DCB$ prostokąta jest prosty ✓

💡 Wskazówka: Przekątne prostokąta dzielą go na cztery trójkąty równoramienne — to najważniejsza własność w takich zadaniach. W kwadracie byłyby to dodatkowo trójkąty prostokątne.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: policzenie $180° - 140° = 40°$ i uznanie tego za szukany kąt. To kąt przy punkcie przecięcia w sąsiednim trójkącie, a nie kąt przy wierzchołku $C$.