Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2016) – kąty w figurach

Każdy bok kwadratu ABCD podzielono na 3 równe części i połączono kolejno punkty podziału, w wyniku czego otrzymano ośmiokąt (odcięto cztery narożne trójkąty). Które z poniższych zdań jest prawdziwe?

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 19 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Każdy bok kwadratu

ABCD

podzielono na 3 równe części i połączono kolejno punkty podziału, w wyniku czego otrzymano ośmiokąt (odcięto cztery narożne trójkąty). Które z poniższych zdań jest prawdziwe?

A. Ośmiokąt jest foremny.
B. Wszystkie boki ośmiokąta mają taką samą długość.
C. Każdy kąt wewnętrzny ośmiokąta ma miarę $135°$ .
D. Obwód ośmiokąta jest większy od obwodu kwadratu $ABCD$ .

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Przyjmijmy, że jedna część boku ma długość $\textcolor{#16A06A}{a}$ — wtedy bok kwadratu ma $3\textcolor{#16A06A}{a}$ .
Odcięte narożniki to trójkąty prostokątne równoramienne o przyprostokątnych $\textcolor{#16A06A}{a}$ — ich przeciwprostokątna ma $\textcolor{#16A06A}{a\sqrt2}$ .
Boki ośmiokąta są więc dwojakie: cztery leżące na bokach kwadratu (długości $\textcolor{#16A06A}{a}$ ) i cztery ukośne (długości $\textcolor{#16A06A}{a\sqrt2}$ ).
A i B odpadają — boki nie są równe, więc ośmiokąt nie jest ani foremny, ani równoboczny.
C. Odcięty trójkąt ma kąty $45°$ , $45°$ , $90°$ . W każdym wierzchołku ośmiokąta kąt wewnętrzny to $\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{45°} = 135°$ ✓ — i tak jest w każdym z ośmiu wierzchołków.
D. Obwód ośmiokąta: $4\textcolor{#16A06A}{a} + 4\textcolor{#16A06A}{a\sqrt2} \approx 4a + 5{,}66a = 9{,}66a$ , a obwód kwadratu to $4 \cdot 3\textcolor{#16A06A}{a} = 12a$ — ośmiokąt ma obwód mniejszy ✗
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Ośmiokąt może mieć wszystkie kąty równe, a mimo to nie być foremny — foremność wymaga jednocześnie równych kątów i równych boków. Tutaj brakuje tego drugiego.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D — intuicja podpowiada, że „ścinanie rogów wydłuża brzeg”. Jest odwrotnie: przekątna trójkąta jest krótsza od sumy jego przyprostokątnych, więc obwód maleje.