Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2015) – zadania mieszane i odkrywanie reguł

Poniżej podano kilka kolejnych potęg liczby 7: 7¹ = 7 7² = 49 7³ = 343 7⁴ = 2401 7⁵ = 16 807 7⁶ = 117 649 7⁷ = 823 543 7⁸ = 5 764 801 7⁹ = 40 353 607 …

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 5 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Poniżej podano kilka kolejnych potęg liczby 7:

$7^1 = 7$	$7^2 = 49$	$7^3 = 343$	$7^4 = 2401$	$7^5 = 16\,807$
$7^6 = 117\,649$	$7^7 = 823\,543$	$7^8 = 5\,764\,801$	$7^9 = 40\,353\,607$	…

Dokończ zdanie.
Cyfrą jedności liczby

7^{190}

jest

A. $1$
B. $3$
C. $7$
D. $9$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Wypisujemy same cyfry jedności kolejnych potęg siódemki:
$7^1 \to \textcolor{#16A06A}{7}$ , $7^2 \to \textcolor{#16A06A}{9}$ , $7^3 \to \textcolor{#16A06A}{3}$ , $7^4 \to \textcolor{#16A06A}{1}$ , $7^5 \to \textcolor{#16A06A}{7}$ , $7^6 \to \textcolor{#16A06A}{9}$ …
Widać, że cyfry powtarzają się w cyklu o długości $\textcolor{#E0453A}{4}$ : $7, 9, 3, 1$ , a potem od nowa.
Żeby ustalić, w którym miejscu cyklu wypada $7^{190}$ , dzielimy wykładnik przez $\textcolor{#E0453A}{4}$ i patrzymy na resztę:
$190 : \textcolor{#E0453A}{4} = 47$ reszty $\textcolor{#E0453A}{2}$ .
Reszta $\textcolor{#E0453A}{2}$ oznacza drugą pozycję w cyklu, a tam stoi cyfra $\textcolor{#16A06A}{9}$ .
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Cyfra jedności każdej potęgi powtarza się cyklicznie — dla 7 cykl ma długość 4, dla 2 również 4, dla 3 też 4, a dla 5 i 6 cykl ma długość 1 (zawsze kończą się na 5 i 6).

⚠ Najczęstszy błąd: reszta 0 traktowana jako „pozycja zerowa”. Gdyby wykładnik dzielił się przez 4 (np. $7^{188}$ ), reszta wynosiłaby 0 i trzeba by wziąć ostatnią cyfrę cyklu, czyli 1.