Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2014) – graniastosłupy i ostrosłupy

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoboczny o boku długości 3, a wysokość tego graniastosłupa jest równa 4√2. Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Objętość tego graniastosłupa jest równa

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 13 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoboczny o boku długości

3

, a wysokość tego graniastosłupa jest równa

4\sqrt{2}

. Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Objętość tego graniastosłupa jest równa

A. $9\sqrt{6}$
B. $18\sqrt{2}$
C. $18\sqrt{6}$
D. $36\sqrt{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok $\boldsymbol{1}$ — pole podstawy. Wzór na pole trójkąta równobocznego: $P = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ .
$\textcolor{#16A06A}{P_p} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{3}^2\sqrt3}{4} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{9\sqrt3}{4}}$ .
Krok $\boldsymbol{2}$ — objętość. $V = \textcolor{#16A06A}{P_p} \cdot \textcolor{#E0453A}{H}$ :
$V = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{9\sqrt3}{4}} \cdot \textcolor{#E0453A}{4\sqrt2} = 9\sqrt3 \cdot \sqrt2$
Krok $\boldsymbol{3}$ — mnożenie pierwiastków. $\sqrt3 \cdot \sqrt2 = \sqrt6$ , więc $V = 9\sqrt6$ .
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Pierwiastki mnoży się „pod jedną kreską”: $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{mn}$ . Czwórka z mianownika skróciła się tu z czwórką z wysokości — warto szukać takich skróceń, zanim się cokolwiek policzy.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie liczb pod pierwiastkami ( $\sqrt3 \cdot \sqrt2 = \sqrt5$ ) albo pominięcie dzielenia przez $4$ we wzorze na pole trójkąta równobocznego.