Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2013) – kąty w figurach

Na rysunkach I–IV przedstawiono cztery pary trójkątów: I. Pierwszy ma kąty 37° i 65° oraz bok 4; drugi ma kąty 65° i 78° oraz bok 4 (w obu bok leży między kątami 65° i 78° ). II. Pierwszy jest równoramienny o ramionach 4 i 4, z kątem 44° między nimi; drugi ma boki 4 i 4 oraz kąt 68° przy podstawie…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 21 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Na rysunkach I–IV przedstawiono cztery pary trójkątów:
I. Pierwszy ma kąty

37°

65°

oraz bok 4; drugi ma kąty

65°

78°

oraz bok 4 (w obu bok leży między kątami

65°

78°

).
II. Pierwszy jest równoramienny o ramionach 4 i 4, z kątem

44°

między nimi; drugi ma boki 4 i 4 oraz kąt

68°

przy podstawie.
III. Oba są prostokątne z bokiem 5; pierwszy ma dodatkowo kąt

52°

, drugi kąt

41°

.
IV. Pierwszy jest prostokątny o bokach 3 i 5; drugi prostokątny o bokach 5 i 4.
Na którym rysunku trójkąty nie są przystające?

A. I
B. II
C. III
D. IV

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Sprawdzamy każdą parę, dopełniając kąty do $\textcolor{#E0453A}{180°}$ .
I. Pierwszy: $\textcolor{#E0453A}{180°} - 37° - 65° = 78°$ → kąty $\textcolor{#16A06A}{\{37°, 65°, 78°\}}$ . Drugi: $\textcolor{#E0453A}{180°} - 65° - 78° = 37°$ → $\textcolor{#16A06A}{\{37°, 65°, 78°\}}$ . Bok 4 leży w obu między tymi samymi kątami — przystające ✓
II. Pierwszy: ramiona 4, 4, kąt między nimi $\textcolor{#16A06A}{44°}$ . Drugi: kąt $\textcolor{#16A06A}{68°}$ przy podstawie, więc kąt między ramionami: $\textcolor{#E0453A}{180°} - 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{68°} = \textcolor{#16A06A}{44°}$ . Cecha bok–kąt–bok — przystające ✓
III. Pierwszy: kąt prosty i $52°$ → trzeci $38°$ , zestaw $\textcolor{#16A06A}{\{90°, 52°, 38°\}}$ . Drugi: kąt prosty i $41°$ → trzeci $49°$ , zestaw $\textcolor{#16A06A}{\{90°, 41°, 49°\}}$ .
Zestawy kątów są różne, więc trójkąty nie mogą być przystające ✗ — to szukana odpowiedź.
IV. Pierwszy: przyprostokątna 3, przeciwprostokątna 5 → druga przyprostokątna 4. Drugi: przyprostokątna 4, przeciwprostokątna 5 → druga 3. Oba to trójkąty 3–4–5 — przystające ✓
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Najszybszy filtr: porównaj zestawy kątów. Jeśli się różnią, trójkąty nie są nawet podobne i można przerwać sprawdzanie.

⚠ Najczęstszy błąd w parze II: potraktowanie $68°$ jako kąta między ramionami. Z rysunku widać, że leży on przy podstawie — trzeba więc dopełnić do $180°$ i podzielić.