Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2013) – kąty w figurach

Jeden z kątów wewnętrznych trójkąta ma miarę α, drugi ma miarę o 30° większą niż kąt α, a trzeci ma miarę trzy razy większą niż kąt α. Dokończ zdanie. Trójkąt ten jest

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · średnie

Zadanie 20 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Jeden z kątów wewnętrznych trójkąta ma miarę

\alpha

, drugi ma miarę o

30°

większą niż kąt

\alpha

, a trzeci ma miarę trzy razy większą niż kąt

\alpha

. Dokończ zdanie.
Trójkąt ten jest

A. równoboczny.
B. równoramienny.
C. rozwartokątny.
D. prostokątny.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zapisujemy wszystkie trzy kąty przez $\textcolor{#16A06A}{\alpha}$ : $\textcolor{#16A06A}{\alpha}$ , $\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 30°$ , $3\textcolor{#16A06A}{\alpha}$ .
Suma kątów trójkąta: $\textcolor{#16A06A}{\alpha} + (\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 30°) + 3\textcolor{#16A06A}{\alpha} = \textcolor{#E0453A}{180°}$ .
$5\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 30° = \textcolor{#E0453A}{180°}$ , czyli $5\textcolor{#16A06A}{\alpha} = 150°$ , więc $\textcolor{#16A06A}{\alpha} = 30°$ .
Kąty trójkąta: $30°$ , $30° + 30° = 60°$ , $3 \cdot 30° = 90°$ .
Największy kąt ma $90°$ , więc trójkąt jest prostokątny — odpowiedź D.
Dla porządku: nie jest równoboczny ani równoramienny (wszystkie kąty różne), nie jest też rozwartokątny (żaden kąt nie przekracza $90°$ ).

💡 Wskazówka: Po wyliczeniu kątów zawsze sprawdź wszystkie cztery określenia — czasem pasuje więcej niż jedno (np. trójkąt może być jednocześnie prostokątny i równoramienny).

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $\alpha = 30°$ i uznanie, że skoro wychodzi „ładna” liczba, to trójkąt jest równoboczny. Trzeba policzyć wszystkie trzy kąty.