Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2016) – twierdzenie pitagorasa

Ewa narysowała kwadrat o boku 1, prostokąt o bokach 2 i 1 oraz kąt prosty o wierzchołku O. Następnie od wierzchołka O odmierzyła na jednym ramieniu kąta odcinek OA o długości równej przekątnej kwadratu, a na drugim ramieniu — odcinek OB o długości równej przekątnej prostokąta. Dokończ zdanie…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 8 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Ewa narysowała kwadrat o boku 1, prostokąt o bokach 2 i 1 oraz kąt prosty o wierzchołku

O

. Następnie od wierzchołka

O

odmierzyła na jednym ramieniu kąta odcinek

OA

o długości równej przekątnej kwadratu, a na drugim ramieniu — odcinek

OB

o długości równej przekątnej prostokąta. Dokończ zdanie.
Długość odcinka

AB

jest równa

A. $\sqrt{7}$
B. $\sqrt{2} + \sqrt{5}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\sqrt{2} + \sqrt{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Krok 1 — przekątna kwadratu o boku 1. $\textcolor{#16A06A}{OA} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt2}$ .
Krok 2 — przekątna prostokąta $2 \times 1$ . $\textcolor{#16A06A}{OB} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \textcolor{#16A06A}{\sqrt5}$ .
Krok 3 — odcinek $AB$ . Ramiona kąta prostego są prostopadłe, więc trójkąt $OAB$ jest prostokątny, a $\textcolor{#16A06A}{OA}$ i $\textcolor{#16A06A}{OB}$ to jego przyprostokątne.
$\textcolor{#E0453A}{AB} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{\sqrt2}^2 + \textcolor{#16A06A}{\sqrt5}^2} = \sqrt{2 + 5} = \sqrt7$ .
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Pierwiastki znikają przy podnoszeniu do kwadratu, więc rachunek jest bardzo prosty: $2 + 5 = 7$ . To typowa konstrukcja zadań z pierwiastkami.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie pierwiastków ( $\sqrt2 + \sqrt5$ — kusząca odpowiedź B). Przeciwprostokątna nie jest sumą przyprostokątnych; sumują się dopiero ich kwadraty.