Zadanie z E8 (grudzień 2017) – twierdzenie pitagorasa

Odpowiedź: C

1. Odcinek $EC$ policzymy jako różnicę: $EC = AC - AE$. Wyznaczamy więc obie przeciwprostokątne.
2. Mały trójkąt $ADE$ — prostokątny (kąt prosty przy $D$) z kątem $30°$ przy $A$. Bok $\textcolor{#16A06A}{DE} = \textcolor{#16A06A}{3}$ cm leży naprzeciw kąta $30°$, więc jest połową przeciwprostokątnej:
3. $\textcolor{#E0453A}{AE} = 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{6}$ cm.
4. Duży trójkąt $ABC$ — prostokątny przy $B$, kąt $30°$ przy $A$. Znamy przyprostokątną $\textcolor{#16A06A}{AB} = \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}$ cm, leżącą naprzeciw kąta $60°$.
5. W trójkącie $30°$–$60°$–$90°$ ten bok równa się $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{c}\sqrt3}{2}$, więc $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{AC}\sqrt3}{2} = \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}$, skąd $\textcolor{#E0453A}{AC} = \textcolor{#E0453A}{8}$ cm.
6. Różnica: $EC = \textcolor{#E0453A}{8} - \textcolor{#E0453A}{6} = 2$ cm — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Oba trójkąty mają te same kąty ($30°$, $60°$, $90°$), więc są podobne. Można było też skorzystać ze skali: $AB : DE = 4\sqrt3 : 3$… ale prościej policzyć każdy osobno z własności kąta $30°$.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $DE$ jako boku naprzeciw kąta $60°$. Odcinek $DE$ jest prostopadły do $AB$, więc w trójkącie $ADE$ leży naprzeciw kąta przy $A$, czyli $30°$.