Egzamin ósmoklasisty · matematyka · listopad 2012, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (listopad 2012) – twierdzenie pitagorasa

Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach długości 22 cm ( AB ) i 10 cm ( DC ) oraz wysokości 5 cm (ramię AD, prostopadłe do podstaw). Odcinek AC jest przekątną tego trapezu. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 10 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dany jest trapez prostokątny

ABCD

o podstawach długości 22 cm (

AB

) i 10 cm (

DC

) oraz wysokości 5 cm (ramię

AD

, prostopadłe do podstaw). Odcinek

AC

jest przekątną tego trapezu. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny.	P	F
Bok $BC$ ma długość 12 cm.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

Wyznaczamy oba brakujące boki, korzystając dwukrotnie z twierdzenia Pitagorasa.
Przekątna $AC$ . Tworzy trójkąt prostokątny z bokami $AD = \textcolor{#16A06A}{5}$ i $DC = \textcolor{#16A06A}{10}$ :
$\textcolor{#E0453A}{AC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{5}^2 + \textcolor{#16A06A}{10}^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt5 \approx \textcolor{#E0453A}{11{,}2}$ cm.
Ramię $BC$ . Jego rzut na dolną podstawę to różnica podstaw: $22 - 10 = \textcolor{#16A06A}{12}$ cm, a wysokość to $\textcolor{#16A06A}{5}$ cm:
$\textcolor{#E0453A}{BC} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{12}^2 + \textcolor{#16A06A}{5}^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = \textcolor{#E0453A}{13}$ cm.
Zdanie 1. Boki trójkąta $ABC$ : $AB = 22$ , $\textcolor{#E0453A}{AC} \approx 11{,}2$ , $\textcolor{#E0453A}{BC} = 13$ — wszystkie różne, więc trójkąt nie jest równoramienny — fałsz.
Zdanie 2. $\textcolor{#E0453A}{BC} = 13$ cm, a nie 12 cm — fałsz.
Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Liczba 12 w tym zadaniu to rzut ramienia na podstawę (różnica podstaw), a nie samo ramię. Razem z wysokością 5 daje znajomą trójkę $5$ – $12$ – $13$ .

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: podanie 12 cm — czyli właśnie różnicy podstaw. To przyprostokątna, a $BC$ jest przeciwprostokątną, więc musi być dłuższa.