Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2023

Zadanie z E8 (czerwiec 2023) – pola figur

Dany jest prostokąt ABCD, w którym bok BC ma długość 4 cm. Na bokach prostokąta zaznaczono punkty: E na boku AD oraz F na boku AB. Narysowano odcinki EF i FC tak, że powstały dwa jednakowe (przystające) trójkąty EAF i FBC; w obu zaznaczono kąty o takiej samej mierze α (przy wierzchołku E w…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

2pkt · trudniejsze

Zadanie 27 (czerwiec 2023)2 pkttrudniejsze

Dany jest prostokąt

ABCD

, w którym bok

BC

ma długość 4 cm. Na bokach prostokąta zaznaczono punkty:

E

na boku

AD

oraz

F

na boku

AB

. Narysowano odcinki

EF

FC

tak, że powstały dwa jednakowe (przystające) trójkąty

EAF

FBC

; w obu zaznaczono kąty o takiej samej mierze

\alpha

(przy wierzchołku

E

w pierwszym i przy

F

w drugim). Odcinek

AE

ma długość 3 cm. Oblicz pole prostokąta

ABCD

. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 28 cm²

Oba trójkąty są prostokątne (kąty proste przy $A$ i przy $B$ — to narożniki prostokąta) i przystające.
Zaznaczone kąty $\alpha$ wskazują, jak sobie odpowiadają wierzchołki: $E \leftrightarrow F$ , a stąd $A \leftrightarrow B$ oraz $F \leftrightarrow C$ .
Z tej odpowiedniości wynikają równości boków: $\textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{BF}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{AF} = \textcolor{#E0453A}{BC}$ .
Podstawiamy dane: $\textcolor{#16A06A}{BF} = \textcolor{#16A06A}{AE} = \textcolor{#16A06A}{3}$ cm oraz $\textcolor{#E0453A}{AF} = \textcolor{#E0453A}{BC} = \textcolor{#E0453A}{4}$ cm.
Bok $AB$ składa się z dwóch części: $AB = \textcolor{#E0453A}{AF} + \textcolor{#16A06A}{FB} = \textcolor{#E0453A}{4} + \textcolor{#16A06A}{3} = 7$ cm.
Pole prostokąta: $7 \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = 28$ cm².
Odpowiedź: pole prostokąta $ABCD$ wynosi 28 cm².

💡 Wskazówka: W trójkątach przystających boki odpowiadają sobie zgodnie z kątami, a nie z położeniem na rysunku. Zaznaczone kąty $\alpha$ są tu wskazówką, którą parę wierzchołków ze sobą łączyć.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie $AF = AE = 3$ cm (czyli że trójkąt $EAF$ jest równoramienny). Przystawanie łączy trójkąt $EAF$ z $FBC$ , a nie jego własne boki ze sobą.