Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2016) – wyrażenia algebraiczne

Dane są liczby a i b takie, że 2 < a < 3 oraz -1 < b < 1. Oceń prawdziwość podanych zdań.

1pkt · trudniejsze

Zadanie 15 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dane są liczby

a

b

takie, że

2 < a < 3

oraz

-1 < b < 1

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Iloraz $\dfrac{b}{a}$ jest zawsze dodatni.	P	F
Różnica $b - a$ jest zawsze dodatnia.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, F

Kluczowe słowo w obu zdaniach: „zawsze”. Wystarczy znaleźć jeden kontrprzykład, żeby zdanie obalić.
Zdanie 1. Liczba $\textcolor{#16A06A}{a}$ jest na pewno dodatnia (mieści się między 2 a 3), ale $\textcolor{#E0453A}{b}$ może być ujemne — np. $\textcolor{#E0453A}{b} = -0{,}5$ .
Wtedy $\dfrac{\textcolor{#E0453A}{-0{,}5}}{\textcolor{#16A06A}{2{,}5}}$ jest ujemne — fałsz. (Dla $b = 0$ iloraz jest w dodatku równy zeru, czyli też nie jest dodatni.)
Zdanie 2. Tu odwrotnie — sprawdźmy, czy różnica może być dodatnia.
Największe możliwe $\textcolor{#E0453A}{b}$ jest bliskie $\textcolor{#E0453A}{1}$ , a najmniejsze $\textcolor{#16A06A}{a}$ bliskie $\textcolor{#16A06A}{2}$ .
Nawet w tym najkorzystniejszym przypadku $\textcolor{#E0453A}{b} - \textcolor{#16A06A}{a} < \textcolor{#E0453A}{1} - \textcolor{#16A06A}{2} = -1$ — różnica jest zawsze ujemna, więc zdanie jest fałszywe.
Odpowiedzi: F, F.

💡 Wskazówka: Przy przedziałach sprawdzaj skrajne przypadki: największe możliwe $b$ i najmniejsze możliwe $a$ . Jeśli nawet wtedy warunek nie zachodzi, to nie zachodzi nigdy.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: porównanie „ $b$ może być bliskie 1, a $a$ bliskie 2, więc czasem $b > a$ ”. Przedziały wcale się nie nakładają — każde $b$ jest mniejsze od każdego $a$ .