Deltoid

Q: Jak obliczyć pole deltoidu?

Tak samo jak pole rombu: P = d_1 · d_2/2, czyli połowa iloczynu przekątnych. Dla przekątnych 8 cm i 4 cm pole wynosi 16 cm². Wzór działa, bo przekątne deltoidu są prostopadłe.

Deltoid to czworokąt zbudowany jak latawiec: dwa krótsze boki obok siebie i dwa dłuższe obok siebie. Ma prostopadłe przekątne, tak jak romb — ale różni się od niego jedną rzeczą, która przesądza o wszystkim: tylko jedna przekątna dzieli drugą na połowy.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 6–8 · bez osobnego punktu w podstawie, wzór w karcie CKEZadań z E8: 6

Krótko: Deltoid to czworokąt, który ma dwie pary sąsiednich boków równej długości. Jego przekątne są prostopadłe, a pole to P = e · f : 2.

Kalkulator deltoidu

Przejdź od razu do zadań (6) ↓

1Boki równe, ale sąsiadujące

Deltoid to czworokąt mający dwie pary boków równej długości, przy czym równe boki ze sobą sąsiadują.

To jedno słowo — sąsiadują — odróżnia go od równoległoboku, w którym równe boki leżą naprzeciw siebie.

figura	które boki są równe	obraz
deltoid	dwie pary sąsiadujących	latawiec: dwa krótkie u góry, dwa długie u dołu
równoległobok	dwie pary przeciwległych	przechylony prostokąt
romb	wszystkie cztery	spełnia oba warunki naraz

Trzeci wiersz jest ważny: romb jest szczególnym przypadkiem deltoidu. Skoro ma wszystkie boki równe, to ma też dwie pary równych boków sąsiadujących — warunek jest spełniony z nawiązką.

Odwrotnie już nie: typowy deltoid ma boki dwóch różnych długości i rombem nie jest.

Potoczna nazwa latawiec nie jest przypadkowa — tak wygląda klasyczny latawiec i stąd angielska nazwa tej figury, kite.

2Przekątne — prostopadłe, ale nie równorzędne

To sedno całej figury i miejsce, w którym najłatwiej pomylić deltoid z rombem.

własność przekątnych	deltoid niebędący rombem	romb
są prostopadłe	tak	tak
dzielą się nawzajem na połowy	NIE — tylko jedna dzieli drugą	tak, obie
obie są osiami symetrii	nie — tylko jedna	tak, obie
mają równą długość	nie	nie

Cała różnica w jednym zdaniu

W rombie każda przekątna dzieli drugą na połowy.

W deltoidzie, który nie jest rombem, jedna dzieli drugą, ale nie odwrotnie — punkt przecięcia leży w połowie tylko jednej z nich.

Ta przekątna, która dzieli drugą, jest zarazem osią symetrii deltoidu.

Weźmy deltoid o wierzchołkach $A = (0,3)$ , $B = (2,0)$ , $C = (0,-5)$ , $D = (-2,0)$ . Przekątna $AC$ ma długość $8$ , a $BD$ — $4$ ; przecinają się w punkcie $(0,0)$ .

Ten punkt jest środkiem odcinka $BD$ , bo dzieli go na dwa kawałki po $2$ . Ale odcinka $AC$ nie dzieli na połowy: od $A$ jest $3$ , a do $C$ aż $5$ .

Uwaga na częsty skrót myślowy

Osią symetrii nie musi być dłuższa przekątna. Osią jest ta, która łączy wierzchołki leżące między bokami równej długości — a bywa krótsza od drugiej.

Kontrprzykład: w deltoidzie o wierzchołkach $(0;1)$ , $(3;0)$ , $(0;-0{,}5)$ , $(-3;0)$ oś ma długość $1{,}5$ , a druga przekątna aż $6$ .

Zapamiętuj więc oś przez boki, a nie przez długość.

Deltoid ABCD: dwie pary równych boków sąsiadujących (a, a oraz b, b), przekątne prostopadłe, oś symetrii AC dzieli przekątną BD na połowy — Deltoid — równe boki sąsiadujące i prostopadłe przekątne

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury na płaszczyźnie” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Figury na płaszczyźnie — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Figury na płaszczyźnie”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł~~35,10 zł~~−19,20 zł Cała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Kąty i symetria

Deltoid niebędący rombem ma dokładnie jedną oś symetrii — leży ona na tej przekątnej, która dzieli drugą na połowy. Romb, jako szczególny przypadek deltoidu, ma dwie.

Dla porównania: romb i prostokąt mają dwie osie, kwadrat cztery, a równoległobok żadnej.

Z jednej osi symetrii wynika własność kątów, którą łatwo zapamiętać źle:

równe są dwa kąty leżące między bokami różnej długości — czyli te, przez które oś nie przechodzi,
dwa kąty leżące na osi są na ogół różne — oś dzieli każdy z nich na połowy, ale nie zrównuje ich ze sobą.

W naszym deltoidzie kąty przy $B$ i $D$ mają po około $124{,}5°$ — są równe. Kąty przy $A$ i $C$ wynoszą około $67{,}4°$ i $43{,}6°$ — są różne.

124{,}5° + 124{,}5° + 67{,}4° + 43{,}6° \approx 360°

Suma kątów wynosi oczywiście $360°$ , jak w każdym czworokącie — to dobra kontrola rachunku.

Oś symetrii jest też dwusieczną obu kątów, przez które przechodzi. Dzieli deltoid na dwa przystające trójkąty, będące swoimi lustrzanymi odbiciami.

4Pole — ten sam wzór co dla rombu

Skoro przekątne deltoidu są prostopadłe, obowiązuje go wzór znany z rombu:

P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

Dla przekątnych $8$ i $4$ daje to $\frac{8 \cdot 4}{2} = 16$ .

Wyprowadzenie tego wzoru opisuję przy polu rombu — działa ono dla każdej figury o prostopadłych przekątnych, a nie tylko dla rombu. Tam też znajdziesz ostrzeżenie, dla których czworokątów wzoru użyć nie wolno.

I rzecz, która zaskakuje przy figurze opisanej wyżej jako nieobecna w podstawie: wzór na pole deltoidu stoi w karcie wzorów CKE (strona 21, obok wzorów na pole równoległoboku i rombu). Karta podaje przy tym własną definicję — „czworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z przekątnych”. Maturzysta dostaje więc ten wzór wydrukowany, mimo że w wymaganiach szkoły podstawowej deltoid nie pada z nazwy. Wymagania i karta to dwie różne listy.

Dla których figur ten wzór działa

Działa: romb, kwadrat, deltoid — wszystkie mają prostopadłe przekątne.

Nie działa automatycznie: dla równoległoboku, prostokąta czy trapezu trzeba najpierw sprawdzić, czy przekątne są prostopadłe. Jeśli nie są, wzór zawyża pole.

Zwróć uwagę, że przy deltoidzie nie ma znaczenia, która przekątna jest którą — mnożenie jest przemienne. Ważne jest tylko, żeby wziąć całe przekątne, a nie ich połówki.

Pole deltoidu P = e · f : 2 — deltoid to połowa prostokąta zbudowanego na przekątnych; dla e = 10 i f = 8 pole wynosi 40 — Pole deltoidu z przekątnych

5Gdzie deltoid występuje

To materiał nadprogramowy

Podstawa programowa szkoły podstawowej, dział IX, punkt 4: „rozpoznaje i nazywa: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez” — deltoidu wśród nich nie ma.

Pojawia się natomiast w podręcznikach, zbiorach zadań i konkursach, a bywa też na egzaminie jako figura na rysunku, którą trzeba rozpoznać z własności. Warto go znać, ale nie jest wymagany.

Poza matematyką deltoid spotkasz tam, gdzie liczy się kształt aerodynamiczny albo symetria względem jednej osi:

latawiec — najbardziej dosłowny przykład i źródło nazwy,
grot strzały i ostrza niektórych narzędzi,
herby i witraże — jako element ozdobny,
kryształy i płatki niektórych kwiatów,
rozeta w gotyckich oknach — złożona z deltoidów i łuków.

W zadaniach deltoid pojawia się najczęściej wtedy, gdy trzeba rozpoznać figurę z własności przekątnych — i wtedy kluczowe jest pytanie, czy obie dzielą się na połowy, czy tylko jedna.

Jeśli obie — to romb. Jeśli tylko jedna — deltoid. Jeśli żadna, a przekątne są prostopadłe — figura nie jest ani jednym, ani drugim.

6Komplet wzorów — wszystkie wielkości naraz

Deltoid opisują dwie pary boków i dwie przekątne. Oznaczenia: $a$ i $b$ — długości boków w każdej z par, $e$ — przekątna dzielona na połowy (łączy wierzchołki między bokami różnej długości), $f$ — przekątna będąca osią symetrii (łączy wierzchołki między bokami równej długości).

Zwróć uwagę, że rozróżniam je przez rolę, a nie przez długość: jak pokazuje kontrprzykład wyżej, oś $f$ bywa krótsza od $e$ . Opisywanie ich jako „krótsza” i „dłuższa” jest właśnie tym skrótem, przed którym ostrzegam dwie sekcje wyżej.

wielkość	wzór	przykład dla $a = 10$ , $b = 17$ , $e = 16$ , $f = 21$
obwód	$Obw = 2(a + b)$	$2 \cdot (10 + 17) = \textcolor{#E0453A}{54}$
pole	$P = \dfrac{e \cdot f}{2}$	$\dfrac{16 \cdot 21}{2} = \textcolor{#E0453A}{168}$
kąt między przekątnymi	$90^\circ$	zawsze, niezależnie od kształtu
oś symetrii	przekątna $f$	jedna — druga przekątna osią nie jest

Obwód liczy się parami, a nie jak w rombie czwórką: boki są równe tylko sąsiadami, więc każda długość występuje dokładnie dwa razy.

Liczby w tabeli opisują deltoid, który naprawdę da się zbudować — i warto wiedzieć, że nie każdy zestaw czterech liczb to potrafi. Oś dzieli deltoid na dwa trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej $\frac{e}{2} = 8$ : jeden ma przeciwprostokątną $a = 10$ , więc drugą przyprostokątną $6$ , drugi ma przeciwprostokątną $b = 17$ , więc drugą przyprostokątną $15$ . Razem $6 + 15 = 21 = f$ ✓ — dopiero ta zgodność potwierdza, że figura istnieje. Cztery liczby dobrane niezależnie zwykle dają układ sprzeczny.

Wzór na pole jest ten sam co w rombie, i to nie przypadek — działa dla każdego czworokąta o prostopadłych przekątnych.

Na koniec dwie rzeczy o okręgach, bo odpowiedzi są przeciwne. Okrąg wpisany ma każdy deltoid — bez wyjątku. Wynika to z twierdzenia Pitota: okrąg da się wpisać dokładnie wtedy, gdy sumy przeciwległych boków są równe, a w deltoidzie boki idą po kolei $a, a, b, b$ , więc obie sumy dają $a + b$ niezależnie od proporcji. Okrąg opisany ma za to tylko deltoid szczególny — ten, którego dwa przeciwległe kąty są proste, bo dopiero wtedy sumują się do $180°$ .

7Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: rozpoznanie figury, kąty i pole.

Przykład 1 Romb czy deltoid

Czworokąt ma prostopadłe przekątne. Jedna z nich dzieli drugą na połowy, ale nie odwrotnie. Jaka to figura?

Prostopadłe przekątne mają trzy figury: romb, kwadrat i deltoid.
W rombie i kwadracie przekątne dzielą się nawzajem na połowy — obie, nie jedna.
Tutaj dzieli tylko jedna, więc romb i kwadrat odpadają.
Zostaje deltoid — i to jego cecha rozpoznawcza.
Dodatkowo wiadomo, która przekątna jest osią symetrii: ta, która dzieli drugą.
Kontrola: gdyby obie dzieliły się na połowy, byłby to romb; gdyby do tego były równe — kwadrat ✓

Odpowiedź: Deltoid.

To najczęstsze zadanie o tej figurze i całe sprowadza się do jednego pytania: jedna przekątna dzieli czy obie? Warto mieć tę różnicę zapamiętaną osobno, bo poza nią deltoid i romb zachowują się podobnie.

Przykład 2 Brakujące kąty

W deltoidzie kąty między bokami różnej długości mają po $125°$ , a jeden z kątów na osi symetrii ma $67°$ . Ile ma czwarty kąt?

Kąty między bokami różnej długości są w deltoidzie równe — oba mają po $125°$ .
Suma kątów czworokąta wynosi $360°$ .
Sumuję znane: $125° + 125° + 67° = 317°$ .
Czwarty kąt: $360° - 317° = 43°$ .
Kontrola sumą: $125° + 125° + 67° + 43° = 360°$ ✓
Kontrola sensu: kąty na osi ( $67°$ i $43°$ ) są różne, a te poza osią równe — dokładnie jak być powinno w deltoidzie ✓

Odpowiedź: $43°$

Uwaga na kierunek reguły: równe są kąty poza osią, a te na osi są zwykle różne. Odwrócenie tego zdania to najczęstszy błąd w zadaniach o kątach deltoidu.

Przykład 3 Pole z przekątnych

Deltoid ma przekątne o długościach $8$ cm i $4$ cm. Oblicz jego pole.

Przekątne deltoidu są prostopadłe, więc obowiązuje wzór $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ .
Podstawiam: $P = \frac{8 \cdot 4}{2}$ .
Licznik: $8 \cdot 4 = 32$ .
Dzielę przez dwa: $32 : 2 = 16$ .
Jednostka kwadratowa, więc wynik to $16$ cm².
Kontrola: prostokąt opisany na tym deltoidzie miałby boki $8$ i $4$ , czyli pole $32$ cm² — deltoid zajmuje jego połowę ✓
Kontrola danych: nie ma znaczenia, która przekątna jest osią symetrii; do wzoru wchodzą obie w całości ✓

Odpowiedź: $P = 16$ cm²

Warto zauważyć, że wzór nie odróżnia deltoidu od rombu — dla obu figur o przekątnych $8$ i $4$ pole wyniesie tyle samo. Różnią się kształtem, nie polem.

8Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwsze dwa biorą się z mylenia deltoidu z rombem.

Uznanie, że w deltoidzie obie przekątne dzielą się na połowy

Skąd się bierze: Własność przeniesiona z rombu. W deltoidzie tylko jedna przekątna dzieli drugą — punkt przecięcia leży w połowie jednej, ale nie drugiej. W przykładzie z przekątną $8$ dzieli ją na $3$ i $5$ , a nie na $4$ i $4$ .

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj to jako jedyną różnicę: prostopadłość mają obie figury, wzajemne połowienie tylko romb. To pytanie rozstrzyga zadania na rozpoznanie figury.

Uznanie osi symetrii za dłuższą przekątną

Skąd się bierze: Na typowym rysunku latawca oś rzeczywiście jest dłuższa, więc uczeń uogólnia. Ale osią jest ta przekątna, która łączy wierzchołki między bokami równej długości, i bywa krótsza — w deltoidzie o wierzchołkach $(0;1)$ , $(3;0)$ , $(0;-0{,}5)$ , $(-3;0)$ oś ma $1{,}5$ , a druga przekątna $6$ .

Jak zrobić dobrze: Rozpoznawaj oś po bokach, nie po długości: prowadzi ona przez te dwa wierzchołki, w których stykają się boki tej samej długości.

Zrównanie niewłaściwej pary kątów

Skąd się bierze: Uczeń przyjmuje, że równe są kąty leżące na osi symetrii. Jest odwrotnie — równe są te dwa, przez które oś nie przechodzi, czyli kąty między bokami różnej długości. Kąty na osi są zwykle różne.

Jak zrobić dobrze: Skojarz z lustrem: oś odbija jedną połówkę na drugą, więc zrównuje kąty leżące po jej bokach. Kątów leżących na samej osi nie ma z czym zrównać — ona je tylko dzieli na pół.

Podstawienie połówek przekątnych do wzoru na pole

Skąd się bierze: Na rysunku widać cztery odcinki wychodzące z punktu przecięcia, więc uczeń bierze je jako $d_1$ i $d_2$ . Przy przekątnych $8$ i $4$ daje to $\frac{4 \cdot 2}{2} = 4$ zamiast $16$ — wynik czterokrotnie za mały.

Jak zrobić dobrze: Do wzoru wchodzą całe przekątne. W deltoidzie dodatkowa pułapka: jedna z nich dzieli się na nierówne części, więc nie da się jej odtworzyć, mnożąc jedną połówkę przez dwa.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — pola figur

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor rozdziela dwa składniki każdego wzoru na pole: zielona to podstawa (albo bok, albo przekątna), a czerwona to wysokość — czyli to, co do niej prostopadłe. Największa liczba błędów w tym dziale bierze się z pomylenia wysokości z ramieniem albo z bokiem ukośnym, dlatego warto śledzić czerwoną liczbę.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Dane są dwie figury: kwadrat

K

i romb

R

. Długość boku kwadratu

K

jest równa 8. Iloczyn długości przekątnych rombu

R

jest równy 64. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole rombu $R$ jest równe 32.	P	F
Pole kwadratu $K$ jest równe polu rombu $R$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

Wzór na pole rombu z przekątnych: $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{e} \cdot \textcolor{#16A06A}{f}}{2}$ , gdzie $\textcolor{#16A06A}{e}$ i $\textcolor{#16A06A}{f}$ to przekątne.
Zdanie 1. Znamy iloczyn przekątnych: $\textcolor{#16A06A}{e} \cdot \textcolor{#16A06A}{f} = 64$ , więc $P_R = \dfrac{64}{2} = 32$ ✓ — prawda.
Zwróć uwagę, że nie musimy znać długości poszczególnych przekątnych — wystarczy ich iloczyn.
Zdanie 2. Pole kwadratu: $8^2 = 64$ . Pole rombu: $32$ .
$64 \ne 32$ — pola nie są równe — fałsz.
Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Wzór z przekątnymi działa dla każdego czworokąta o przekątnych prostopadłych — rombu, kwadratu, latawca (deltoidu).

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: przyjęcie, że skoro romb ma boki równe (jak kwadrat), to i pole ma takie samo. Romb o boku 8 może mieć pole od prawie zera do 64 — zależy od kątów.

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pktłatwe

Dany jest romb, którego przekątne mają długość 24 cm i 18 cm. Pole tego rombu jest równe

A. $108$ cm²
B. $216$ cm²
C. $225$ cm²
D. $432$ cm²

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Wzór na pole rombu z przekątnych: $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{e} \cdot \textcolor{#16A06A}{f}}{2}$ .
$P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{24} \cdot \textcolor{#16A06A}{18}}{2} = \dfrac{432}{2} = 216$ cm².
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Skąd bierze się dzielenie przez 2? Przekątne dzielą romb na cztery trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $\tfrac{e}{2}$ i $\tfrac{f}{2}$ — po zsumowaniu wychodzi właśnie $\tfrac{ef}{2}$ .

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie dzielenia przez 2 i podanie $432$ cm² (kusząca odpowiedź D) — to pole prostokąta o bokach równych przekątnym, czyli dwa razy za dużo.

Zadanie 3 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Bok rombu ma długość 17 cm, a jedna z jego przekątnych ma długość 30 cm. Pole tego rombu jest równe

A. $120$ cm²
B. $240$ cm²
C. $255$ cm²
D. $480$ cm²

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kluczowa własność: przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy. Powstają cztery przystające trójkąty prostokątne.
W każdym z nich: przeciwprostokątna to bok rombu ( $17$ cm), a przyprostokątne to połowy przekątnych.
Znamy jedną przekątną: $30$ cm, więc jej połowa to $\textcolor{#16A06A}{15}$ cm.
Z twierdzenia Pitagorasa liczymy drugą połowę: $\sqrt{17^2 - \textcolor{#16A06A}{15}^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = \textcolor{#E0453A}{8}$ cm.
Druga przekątna ma więc $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{8} = \textcolor{#E0453A}{16}$ cm.
Pole: $P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{30} \cdot \textcolor{#E0453A}{16}}{2} = 240$ cm² — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Uwaga na moment podwojenia: Pitagoras daje połowę drugiej przekątnej. Łatwo o tym zapomnieć i podstawić 8 zamiast 16 do wzoru na pole.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) użycie połowy ( $8$ ) zamiast całej przekątnej — wychodzi $120$ cm², czyli kusząca odpowiedź A; (2) pominięcie dzielenia przez 2 we wzorze — wychodzi $480$ cm².

Zadanie 4 (kwiecień 2020)1 pkttrudniejsze

Kąt ostry rombu ma miarę

60°

, a bok tego rombu ma długość równą 4 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Krótsza przekątna dzieli ten romb na dwa trójkąty równoboczne.	P	F
Pole tego rombu jest równe $8\sqrt{3}$ cm².	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zdanie 1. Krótsza przekątna łączy wierzchołki kątów rozwartych, a więc odcina trójkąt zawierający kąt ostry $\textcolor{#16A06A}{60°}$ .
Ten trójkąt ma dwa boki równe bokom rombu ( $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm i $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm), jest więc równoramienny, a kąt między nimi wynosi $\textcolor{#16A06A}{60°}$ .
Kąty przy podstawie: $(180° - \textcolor{#16A06A}{60°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{60°}$ — wszystkie trzy kąty po $60°$ , czyli trójkąt jest równoboczny ✓ — prawda.
Zdanie 2. Skoro romb składa się z dwóch trójkątów równobocznych o boku $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm:
Pole jednego: $\dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}^2\sqrt3}{4} = \dfrac{16\sqrt3}{4} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt3}$ cm².
Pole rombu: $2 \cdot \textcolor{#E0453A}{4\sqrt3} = 8\sqrt3$ cm² ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Romb o kącie $60°$ to bardzo wdzięczna figura — zawsze rozpada się na dwa trójkąty równoboczne. Warto rozpoznawać tę sytuację, bo omija liczenie przekątnych.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: przyjęcie, że to dłuższa przekątna daje trójkąty równoboczne. Dłuższa odcina trójkąty z kątem $120°$ — na pewno nie równoboczne.

Zadanie 5 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Punkty

E

F

są środkami boków

BC

CD

kwadratu

ABCD

(przyjmij oznaczenia:

A

lewy dolny,

B

prawy dolny,

C

prawy górny,

D

lewy górny). Oceń prawdziwość podanych zdań.

Pole trójkąta $FEC$ stanowi $\dfrac{1}{8}$ pola kwadratu $ABCD$ .	P	F
Pole czworokąta $DBEF$ stanowi $\dfrac{3}{8}$ pola kwadratu $ABCD$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Oznaczmy bok kwadratu przez $\textcolor{#16A06A}{a}$ , więc pole kwadratu to $\textcolor{#16A06A}{a}^2$ .
Zdanie 1 — trójkąt $FEC$ . Jest prostokątny (kąt prosty przy $C$ ), a jego przyprostokątne to połowy boków: $FC = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}}$ i $EC = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}}$ .
$P_{FEC} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{a}{2}} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{a}^2}{8}$ — czyli $\tfrac18$ pola kwadratu ✓ — prawda.
Zdanie 2 — czworokąt $DBEF$ . Najłatwiej policzyć go jako kwadrat minus dwa trójkąty.
Odcinamy trójkąt $FEC$ (pole $\tfrac18 \textcolor{#16A06A}{a}^2$ ) oraz trójkąt $ABD$ — połowę kwadratu odciętą przekątną $DB$ , o polu $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{a}^2$ .
$P_{DBEF} = \textcolor{#16A06A}{a}^2 - \tfrac12 \textcolor{#16A06A}{a}^2 - \tfrac18 \textcolor{#16A06A}{a}^2 = \tfrac{8 - 4 - 1}{8}\textcolor{#16A06A}{a}^2 = \tfrac38 \textcolor{#16A06A}{a}^2$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Pole figury o dziwnym kształcie prawie zawsze najłatwiej policzyć jako całość minus kawałki, a nie bezpośrednio. Warto wcześniej podstawić konkretny bok (np. $a = 4$ ), żeby rachunki były na liczbach.

⚠ Najczęstszy błąd: próba liczenia pola czworokąta $DBEF$ wprost, przez dzielenie go na trójkąty. Da się, ale rachunki są znacznie dłuższe i łatwo o pomyłkę.

Zadanie 6 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Kąt ostry rombu ma miarę

45°

, a wysokość rombu jest równa

h

. Dokończ zdanie.
Pole tego rombu można wyrazić wzorem

A. $P = h^2$
B. $P = h^2\sqrt{2}$
C. $P = \dfrac{h^2\sqrt{2}}{2}$
D. $P = \dfrac{h^2\sqrt{3}}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Oznaczmy bok rombu przez $\textcolor{#16A06A}{a}$ . Wysokość $\textcolor{#E0453A}{h}$ wraz z bokiem tworzy trójkąt prostokątny o kątach $45°$ , $45°$ , $90°$ .
W takim trójkącie przeciwprostokątna jest $\sqrt2$ razy dłuższa od przyprostokątnej. Tutaj przeciwprostokątną jest bok $\textcolor{#16A06A}{a}$ , a przyprostokątną wysokość $\textcolor{#E0453A}{h}$ :
$\textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#E0453A}{h}\sqrt2$ .
Pole rombu liczymy jak dla równoległoboku — podstawa razy wysokość:
$P = \textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = \textcolor{#E0453A}{h}\sqrt2 \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = h^2\sqrt2$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Trójkąt $45°$ – $45°$ – $90°$ to połówka kwadratu: przeciwprostokątna $=$ przyprostokątna $\cdot \sqrt2$ . Zapamiętaj kierunek — przeciwprostokątna jest dłuższa.

⚠ Najczęstszy błąd: odwrócenie zależności i przyjęcie $a = \tfrac{h}{\sqrt2}$ — wychodzi wtedy odpowiedź C. Bok rombu musi być dłuższy od wysokości, a nie krótszy.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, F

2. B

3. B

4. P, P

5. P, P

6. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Czworokąty — kartkówka, klasa 6

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Czworokąty — kartkówka, klasa 5

Czworokąty: kąty, równoległobok, trapez, osie symetrii.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Czworokąty — sprawdzian, liceum klasa 2

Pole rombu i równoległoboku z kąta, pole z przekątnych.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Karty pracy · sklep

Pola i obwody figur, klasy 4–6 — 12 kart pracy PDF z kluczem

Ściąga ze wzorami i 12 kart: obwód wielokątów, pole w kratkach, prostokąt i kwadrat, jednostki pola, równoległobok, romb, trójkąt, trapez…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

Karty pracy · sklep

Trójkąty i czworokąty, klasy 4–6 — 10 kart pracy PDF z kluczem

10 kart pracy z matematyki dla klas 4–6: rodzaje trójkątów, nierówność trójkąta, kąty i boki, własności czworokątów, obwody. Na końcu test…

7,90 zł

Zobacz w sklepie →

9Pytania i odpowiedzi

Co to jest deltoid?

Czworokąt mający dwie pary boków równej długości, przy czym równe boki ze sobą sąsiadują — a nie leżą naprzeciw siebie. Potocznie nazywany latawcem, bo dokładnie tak wygląda. Ma prostopadłe przekątne i co najmniej jedną oś symetrii.

Czym deltoid różni się od rombu?

Jedną rzeczą: w rombie obie przekątne dzielą się nawzajem na połowy, a w deltoidzie niebędącym rombem tylko jedna dzieli drugą. Prostopadłość mają obie figury. Romb jest zresztą szczególnym przypadkiem deltoidu — ma wszystkie boki równe, więc spełnia jego warunek z nawiązką.

Ile osi symetrii ma deltoid?

Deltoid niebędący rombem ma jedną — leżącą na tej przekątnej, która dzieli drugą na połowy i łączy wierzchołki między bokami równej długości. Nie musi to być dłuższa przekątna; bywa krótsza od drugiej. Romb, też będący deltoidem, ma dwie osie.

Które kąty deltoidu są równe?

Te dwa, które leżą między bokami różnej długości — czyli te, przez które oś symetrii nie przechodzi. Kąty leżące na osi są zwykle różne, bo oś je tylko dzieli na połowy, a nie zrównuje ze sobą.

Jak obliczyć pole deltoidu?

Tak samo jak pole rombu: $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ , czyli połowa iloczynu przekątnych. Dla przekątnych $8$ cm i $4$ cm pole wynosi $16$ cm². Wzór działa, bo przekątne deltoidu są prostopadłe.

Czy deltoid jest w programie szkoły podstawowej?

Z nazwy — nie. Dział IX podstawy programowej dla szkoły podstawowej, punkt 4, wymienia pięć nazw: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez, a deltoidu wśród nich nie ma. Nie znaczy to jednak, że deltoid jest poza materiałem: podstawa dla liceum w zakresie rozszerzonym mówi o własnościach czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu, a deltoid jest czworokątem. Do tego wzór na jego pole stoi w karcie wzorów CKE, więc uczeń dostaje go na egzaminie.

Czytaj dalej

RombFigura różniąca się jedną własnością przekątnych Pole rombuWyprowadzenie wzoru z przekątnych — działa też dla deltoidu Proste prostopadłeProstopadłość przekątnych jako warunek wzoru na pole Geometria płaskaPozostałe czworokąty i ich własności Pole czworokątaWzory na pole czworokątów w jednej tabeli.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-03. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Deltoid

1Boki równe, ale sąsiadujące

2Przekątne — prostopadłe, ale nie równorzędne

3Kąty i symetria

4Pole — ten sam wzór co dla rombu

5Gdzie deltoid występuje

6Komplet wzorów — wszystkie wielkości naraz

7Przykłady krok po kroku

8Najczęstsze błędy

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — pola figur

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pktłatwe

Zadanie 3 (marzec 2021)1 pkttrudniejsze

Zadanie 4 (kwiecień 2020)1 pkttrudniejsze

Zadanie 5 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Zadanie 6 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Odpowiedzi

Sprawdź się na kartce

Czworokąty — kartkówka, klasa 6

Czworokąty — kartkówka, klasa 5

Czworokąty — sprawdzian, liceum klasa 2

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Pola i obwody figur, klasy 4–6 — 12 kart pracy PDF z kluczem

Trójkąty i czworokąty, klasy 4–6 — 10 kart pracy PDF z kluczem

9Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku