Strona główna › Geometria › Pole trapezu — wzór i sposób liczenia

Pole trapezu — wzór i sposób liczenia

Wzór na pole trapezu wygląda groźniej niż pozostałe, bo ma trzy litery i ułamek. W praktyce mówi rzecz prostą: weź średnią z obu podstaw i pomnóż przez wysokość. Trudność w zadaniach nigdy nie leży w samym wzorze — leży w tym, że wysokość bywa nie podana, a zamiast niej dostajesz ramię.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 5–8Zadań z matury: 5

Krótko: Pole trapezu o podstawach a i b oraz wysokości h to P = (a + b) · h : 2. Na przykład dla a = 6, b = 4 i h = 3 pole wynosi (6 + 4) · 3 : 2 = 15.

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Wzór

Karta pracy do wydruku

Pole trapezu — 16 zadań, PDF na 2 strony

Szesnaście trapezów o podanych podstawach i wysokości. Wszystkie pola wychodzą całkowite, więc uczeń od razu widzi, czy się pomylił.

Trapez ma dwie podstawy — równoległe boki różnej zwykle długości. Oznaczamy je aa i bb, a wysokość literą hh.

P=(a+b)⋅h2P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

Trzy rzeczy, które trzeba w tym wzorze zobaczyć:

Ten sam wzór po ludzku

a+b2\frac{a + b}{2} to średnia arytmetyczna podstaw. Cały wzór można więc czytać tak: pole trapezu to średnia podstaw razy wysokość.

W tej postaci widać, że trapez zachowuje się jak prostokąt o tej samej wysokości i o szerokości równej średniej podstaw.

Ma to praktyczną konsekwencję: wynik zawsze wypada między a⋅ha \cdot h a b⋅hb \cdot h. To gotowa kontrola sensu — jeśli pole wyszło poza ten przedział, gdzieś jest błąd.

Wzór obejmuje też przypadki szczególne. Gdy a=ba = b, trapez jest równoległobokiem i wzór upraszcza się do P=2a⋅h2=a⋅hP = \frac{2a \cdot h}{2} = a \cdot h — czyli do znanego wzoru na pole równoległoboku. Nic osobnego nie trzeba pamiętać.

2Skąd się bierze ten wzór

Warto go raz wyprowadzić, bo wtedy nie da się go już pomylić z żadnym innym.

Sposób pierwszy — dwa trapezy w równoległobok. Weź trapez, zrób jego kopię, obróć ją o 180∘180^\circ i dostaw do oryginału ramieniem (bocznym, nierównoległym bokiem).

  1. powstaje równoległobok o podstawie a+ba + b i wysokości hh,
  2. jego pole to (a+b)⋅h(a + b) \cdot h,
  3. ale to pole dwóch trapezów, więc jeden ma połowę: (a+b)⋅h2\frac{(a+b) \cdot h}{2} ✓

Sposób drugi — przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty. Poprowadź przekątną. Powstają dwa trójkąty o tej samej wysokości hh: jeden o podstawie aa, drugi o podstawie bb.

P=a⋅h2+b⋅h2=(a+b)⋅h2P = \frac{a \cdot h}{2} + \frac{b \cdot h}{2} = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

Drugi sposób jest ważniejszy, bo pokazuje coś ogólniejszego: każdy wielokąt da się pociąć na trójkąty i policzyć jako sumę ich pól. Tak liczy się pola działek i figur nietypowych, dla których nie ma gotowego wzoru.

Zauważ też, że w obu wyprowadzeniach wysokość jest ta sama dla obu podstaw — bo podstawy są równoległe, a odległość między dwiema równoległymi jest wszędzie jednakowa. To jedyny powód, dla którego jedna litera hh w ogóle wystarcza.

Skąd wzór na pole trapezu: trapez i jego kopia obrócona o 180° tworzą równoległobok o podstawie a + b i wysokości h, więc pole trapezu P = (a + b) · h : 2
Wzór na pole trapezu — dwa trapezy składają się w równoległobok
Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury na płaszczyźnie” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Figury na płaszczyźnie — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Figury na płaszczyźnie”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł35,10 zł−19,20 złCała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Gdy wysokość nie jest podana

To jest prawdziwa treść większości zadań o polu trapezu. Wzór jest łatwy — dane bywają niekompletne.

Trapez prostokątny. Najprostszy przypadek: jedno ramię stoi prostopadle do podstaw, więc to ramię jest wysokością. Nic nie trzeba liczyć, wystarczy zauważyć kąt prosty na rysunku.

Trapez równoramienny. Opuść wysokości z obu wierzchołków krótszej podstawy. Trapez rozpada się na prostokąt w środku i dwa przystające trójkąty prostokątne po bokach.

Uwaga — ramię to nie wysokość

W trapezie dowolnym ramię biegnie ukośnie i jest dłuższe od wysokości. Podstawienie ramienia zamiast hh zawyża pole.

Pokrywają się wyłącznie w trapezie prostokątnym, i to tylko to jedno ramię, które stoi pod kątem prostym. Drugie ramię tego trapezu wysokością już nie jest — chyba że trapez jest prostokątem.

Trapez dowolny z podanym kątem. Gdy zadanie podaje kąt przy podstawie i długość ramienia, wysokość wychodzi z trygonometrii: h=c⋅sin⁡αh = c \cdot \sin\alpha, gdzie cc to ramię. To już poziom liceum, bo trygonometrii nie ma w podstawie programowej klas VII–VIII. W szkole podstawowej kąt w takim zadaniu ma zwykle 30∘30^\circ, 45∘45^\circ albo 60∘60^\circ — wtedy wystarczą własności trójkątów o kątach 45∘45^\circ, 45∘45^\circ, 90∘90^\circ i 30∘30^\circ, 60∘60^\circ, 90∘90^\circ oraz twierdzenie Pitagorasa.

Pole trapezu równoramiennego bez podanej wysokości: a = 14, b = 6, ramię c = 5; x = (14 − 6) : 2 = 4, z twierdzenia Pitagorasa h = 3, pole P = (14 + 6) · 3 : 2 = 30
Gdy wysokość nie jest podana — wysokość trapezu z twierdzenia Pitagorasa

4Liczenie w drugą stronę

Zadania egzaminacyjne równie często podają pole i pytają o którąś z danych. Wzór wtedy się przekształca.

szukanewzóruwaga
wysokośćh=2Pa+bh = \frac{2P}{a + b}najczęstszy przypadek
suma podstawa+b=2Pha + b = \frac{2P}{h}czasem to wystarcza za odpowiedź
jedna podstawaa=2Ph−ba = \frac{2P}{h} - bgdy druga jest znana

Wszystkie trzy wynikają z jednego ruchu: pomnóż obie strony przez 22, żeby pozbyć się ułamka, a potem podziel przez to, co stoi przy szukanej (a gdy szukasz jednej podstawy — odejmij jeszcze drugą). Nie trzeba ich pamiętać — trzeba umieć wykonać ten ruch.

Jednostki są tu częstym miejscem straty punktu. Pole podaje się w jednostkach kwadratowych: cm², m², km². Jeśli w zadaniu podstawy są w centymetrach, a wysokość w metrach, najpierw sprowadź wszystko do jednej jednostki, dopiero potem licz. Zamiana po obliczeniu wymaga pamiętania, że 11 m² to 10 00010\,000 cm², a nie 100100.

Przy zadaniach z treścią — działka, ściana, przekrój rowu — sprawdź na końcu, czy odpowiedź jest w jednostkach, o które pytano. Zadanie o działce w arach po policzeniu pola w metrach kwadratowych wymaga jeszcze jednego kroku: 11 ar to 100100 m².

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wzór wprost, wysokość dorysowana Pitagorasem i liczenie w drugą stronę.

Przykład 11 Podstawy i wysokość podane wprost

Trapez ma podstawy 99 cm i 1515 cm oraz wysokość 77 cm. Oblicz jego pole.

  1. Podstawiam do wzoru: P=(9+15)⋅72P = \frac{(9 + 15) \cdot 7}{2}.
  2. Sumuję podstawy: 9+15=249 + 15 = 24.
  3. Mnożę przez wysokość: 24⋅7=16824 \cdot 7 = 168.
  4. Dzielę przez 22: 1682=84\frac{168}{2} = 84.
  5. Kontrola przedziałem: pole musi wypaść między 9⋅7=639 \cdot 7 = 63 a 15⋅7=10515 \cdot 7 = 105. Wyszło 8484 ✓
  6. Kontrola przez średnią: średnia podstaw to 9+152=12\frac{9+15}{2} = 12, więc pole to 12⋅7=8412 \cdot 7 = 84 ✓

Odpowiedź: P=84P = 84 cm²

Dwie kontrole w pięć sekund. Kontrola przedziałem jest o tyle cenna, że wyłapuje najczęstszy błąd — zapomniane dzielenie przez 22, które dałoby 168168, czyli wartość powyżej całego przedziału.

Przykład 22 Wysokość trzeba dorysować

Trapez równoramienny ma podstawy 1010 cm i 1616 cm, a jego ramiona mają po 55 cm. Oblicz pole.

  1. Wysokości nie ma w danych, więc muszę ją wyliczyć. Opuszczam wysokości z obu wierzchołków krótszej podstawy.
  2. Trapez rozpada się na prostokąt szerokości 1010 i dwa przystające trójkąty prostokątne po bokach.
  3. Na te dwa trójkąty zostaje 16−10=616 - 10 = 6 cm, po równo — czyli po 62=3\frac{6}{2} = 3 cm.
  4. W jednym z trójkątów: przeciwprostokątna to ramię 55, jedna przyprostokątna to 33, szukam drugiej. Z Pitagorasa: h2=52−32=25−9=16h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16, więc h=4h = 4 cm.
  5. Teraz pole: P=(10+16)⋅42=26⋅42=1042=52P = \frac{(10 + 16) \cdot 4}{2} = \frac{26 \cdot 4}{2} = \frac{104}{2} = 52 cm².
  6. Kontrola przedziałem: 10⋅4=4010 \cdot 4 = 40, 16⋅4=6416 \cdot 4 = 64, a 5252 leży między nimi ✓
  7. Kontrola sensu: wysokość 44 musi być krótsza od ramienia 55, bo ramię jest przeciwprostokątną ✓

Odpowiedź: P=52P = 52 cm²

Trójka 33–44–55 nie jest przypadkiem — autorzy zadań dobierają dane tak, żeby Pitagoras wychodził bez pierwiastków. Jeśli w twoim rachunku wychodzi brzydki pierwiastek, warto sprawdzić odejmowanie podstaw.

Przykład 33 Z pola do brakującej podstawy

Pole trapezu wynosi 8484 m², wysokość 77 m, a jedna z podstaw 99 m. Oblicz drugą podstawę.

  1. Wychodzę ze wzoru P=(a+b)⋅h2P = \frac{(a+b) \cdot h}{2} i mnożę obie strony przez 22: 2P=(a+b)⋅h2P = (a+b) \cdot h.
  2. Podstawiam liczby: 2⋅84=(a+9)⋅72 \cdot 84 = (a + 9) \cdot 7, czyli 168=(a+9)⋅7168 = (a + 9) \cdot 7.
  3. Dzielę obie strony przez 77: a+9=1687=24a + 9 = \frac{168}{7} = 24.
  4. Odejmuję: a=24−9=15a = 24 - 9 = 15 m.
  5. Sprawdzenie podstawieniem do pierwotnego wzoru: (15+9)⋅72=24⋅72=1682=84\frac{(15 + 9) \cdot 7}{2} = \frac{24 \cdot 7}{2} = \frac{168}{2} = 84 ✓
  6. Kontrola przedziałem: 9⋅7=639 \cdot 7 = 63, 15⋅7=10515 \cdot 7 = 105, a 8484 leży dokładnie pośrodku ✓

Odpowiedź: Druga podstawa ma 1515 m.

Zamiast zapamiętywać przekształcony wzór, wykonuję trzy ruchy: mnożę przez 22, dzielę przez to, co stoi przy szukanej, i odejmuję znaną podstawę. Ta sama metoda działa, gdy szukana jest wysokość.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy odpowiada za większość utraconych punktów w tym temacie.

Pominięcie dzielenia przez 2

Skąd się bierze: Zapis P=(9+15)⋅7=168\textcolor{#9b1c14}{P = (9 + 15) \cdot 7 = 168} zamiast 8484 daje wynik dwa razy za duży. Bierze się z pośpiechu: suma i mnożenie idą w pamięci, a ułamek zostaje na papierze. Rachunek wygląda przy tym poprawnie, więc uczeń go nie sprawdza.

Jak zrobić dobrze: Po policzeniu sprawdź przedziałem: pole musi wypaść między a⋅ha \cdot h a b⋅hb \cdot h. Tu byłoby to między 6363 a 105105 — wynik 168168 wypada poza i widać to od razu.

Podstawienie ramienia zamiast wysokości

Skąd się bierze: W trapezie równoramiennym o podstawach 1010 i 1616 i ramionach 55 uczeń bierze h=5h = 5 i liczy P=26⋅52=65\textcolor{#9b1c14}{P = \frac{26 \cdot 5}{2} = 65} zamiast 5252. Ramię jest przeciwprostokątną, więc zawsze dłuższe od wysokości — pole wychodzi zawyżone.

Jak zrobić dobrze: Zapytaj o kąt prosty: czy ten odcinek jest prostopadły do obu podstaw? Jeśli nie, to nie jest wysokość i trzeba ją dorysować, a długość wyliczyć Pitagorasem.

Dodanie ramion zamiast podstaw

Skąd się bierze: Wzór ma we wnętrzu sumę boków równoległych. Uczeń, który patrzy na rysunek zamiast na definicję, dodaje dwa boki leżące „po bokach”, czyli ramiona. Wynik nie ma wtedy żadnego związku z polem figury.

Jak zrobić dobrze: Zanim podstawisz, zaznacz na rysunku strzałkami, które boki są równoległe. Litery aa i bb we wzorze dotyczą wyłącznie tych dwóch — reszta rysunku jest w tym momencie nieistotna.

Mieszanie jednostek w jednym rachunku

Skąd się bierze: Podstawy w centymetrach, wysokość w metrach — i wynik jest bez sensu, choć każdy krok osobno wygląda dobrze. Do tego dochodzi zamiana po fakcie: 11 m² to 10 00010\,000 cm², a nie 100100, bo kwadrat obejmuje obie długości naraz.

Jak zrobić dobrze: Sprowadź wszystkie dane do jednej jednostki przed podstawieniem do wzoru — to jedna linijka pracy, która wyklucza cały ten rodzaj błędu.

Zadania maturalne — pole trapezu: skąd wziąć wysokość i drugą podstawę

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Wzór jest jeden i prosty:
  P=a+b2⋅hP = \dfrac{a + b}{2} \cdot h  — średnia z podstaw razy wysokość.
Kłopot jest w tym, że żadne zadanie maturalne nie podaje wprost wszystkich trzech liczb. Cała praca polega na wydobyciu brakujących, i robi się to zawsze przez trójkąt prostokątny doklejony do trapezu:
  • w trapezie prostokątnym ramię pochyłe wraz z wysokością i różnicą podstaw tworzy trójkąt prostokątny — stąd wysokość z tangensa albo z Pitagorasa;
  • w trapezie równoramiennym oba ramiona rzutują się na dłuższą podstawę jednakowo, więc a=b+2⋅(rzut ramienia)a = b + 2 \cdot (\text{rzut ramienia}), a rzut i wysokość dają cosinus i sinus kąta ostrego.
Trzeci sposób, gdy podstaw nie da się dosięgnąć wprost: przekątna. Skoro podstawy są równoległe, przekątna tworzy z nimi kąty naprzemianległe — ten sam kąt pojawia się po obu stronach trapezu i przenosi informację z jednego trójkąta do drugiego. A gdy przekątne są do siebie prostopadłe, wszystkie cztery trójkąty, na jakie dzielą trapez, są prostokątne.

Zadania zamknięte

Zadanie 5 (czerwiec 2014)1 pktśrednie

W trapezie KLMNKLMN, w którym KL∥MNKL \parallel MN, kąt LKNLKN jest prosty oraz dane są: ∣MN∣=3|MN| = 3, ∣KN∣=43|KN| = 4\sqrt{3}, ∣∢KLM∣=60∘|\sphericalangle KLM| = 60^\circ.

Pole tego trapezu jest równe
  • A. 4+234 + 2\sqrt{3}
  • B. 10310\sqrt{3}
  • C. 20320\sqrt{3}
  • D. 24+6324 + 6\sqrt{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. We wzorze na pole trapezu potrzebne są obie podstawy i wysokość. Krótsza podstawa i wysokość są dane wprost — bo kąt przy KK jest prosty, więc ramię KNKN jest jednocześnie wysokością. Brakuje dłuższej podstawy KLKL.
  2. Rzut pochyłego ramienia LMLM na podstawę KLKL to różnica podstaw, czyli ∣KL∣−3|KL| - \textcolor{#16A06A}{3}. Leży on przy kącie 60∘\textcolor{#16A06A}{60^\circ}, a wysokość 43\textcolor{#16A06A}{4\sqrt3} naprzeciw niego — więc łączy je tangens:
  3. tg⁡60∘=43∣KL∣−3⟹3=43∣KL∣−3\operatorname{tg} \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}}{|KL| - \textcolor{#16A06A}{3}} \quad\Longrightarrow\quad \textcolor{#E0453A}{\sqrt3} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}}{|KL| - \textcolor{#16A06A}{3}}
  4. ∣KL∣−3=433=4⟹∣KL∣=7|KL| - \textcolor{#16A06A}{3} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}} = \textcolor{#E0453A}{4} \quad\Longrightarrow\quad |KL| = \textcolor{#E0453A}{7}
  5. Teraz pole:
  6. P=∣KL∣+∣MN∣2⋅43=7+32⋅43=5⋅43=203P = \dfrac{|KL| + \textcolor{#16A06A}{|MN|}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{7} + \textcolor{#16A06A}{3}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3} = 5 \cdot \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{20\sqrt3}
  7. Odpowiedź: C.
  8. Kontrola przez podział figury: trapez rozpada się na prostokąt o bokach 33 i 434\sqrt3 oraz trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 44 i 434\sqrt3. Pola: 12312\sqrt3 oraz 12⋅4⋅43=83\tfrac12 \cdot 4 \cdot 4\sqrt3 = 8\sqrt3. Razem 20320\sqrt3 ✓ — inny rachunek, ten sam wynik.
  9. Kontrola sensem: 203≈34,620\sqrt3 \approx 34{,}6. Trapez mieści się w prostokącie o bokach 77 i 43≈6,934\sqrt3 \approx 6{,}93, czyli o polu ≈48,5\approx 48{,}5, a zawiera prostokąt o polu 123≈20,812\sqrt3 \approx 20{,}8. Wynik mieści się między tymi liczbami ✓.

💡 Wskazówka: Sprawdź najpierw, co już masz. W trapezie prostokątnym ramię przy kącie prostym jest wysokością — nie trzeba jej liczyć. Zwykle brakuje jednej podstawy i wtedy pracuje się na trójkącie odciętym przez pochyłe ramię: rzut leży przy kącie, wysokość naprzeciw, więc łączy je tangens.

⚠ Odpowiedź BB, czyli 10310\sqrt3 — to połowa poprawnej: dzielenie przez dwa wchodzi tu dwa razy, raz we wzorze na pole, drugi raz z rozpędu na końcu rachunku. Osobny błąd to wzięcie za podstawę samego rzutu 44 zamiast całego ∣KL∣=7|KL| = 7 — ale on prowadzi do jeszcze innego wyniku, którego wśród odpowiedzi nie ma. Odpowiedzi AA i DD mają postać „liczba plus liczba z pierwiastkiem”, a pole tego trapezu jest czystą wielokrotnością 3\sqrt3 — bo obie podstawy są wymierne, a wysokość niewymierna. Sama postać wyniku pozwala je odrzucić.

Zadania otwarte

Zadanie 1 (sierpień 2023)2 pktłatwe

Dany jest trapez równoramienny ABCDABCD, w którym podstawa CDCD ma długość 66, ramię ADAD ma długość 44, a kąty BADBAD oraz ABCABC mają miarę 60∘60^\circ (zobacz rysunek). Oblicz pole tego trapezu.
Trapez rownoramienny o krotszej podstawie 6, ramieniu 4 i katach ostrych 60 stopni60°60°64ABCD
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P=163≈27,71P = 16\sqrt3 \approx 27{,}71

  1. Krok 1\boldsymbol{1} — co brakuje. Wzór na pole potrzebuje obu podstaw i wysokości. Mamy tylko krótszą podstawę 6\textcolor{#16A06A}{6}; dłuższej podstawy i wysokości trzeba dopiero wydobyć — i jedno i drugie z tego samego trójkąta prostokątnego.
  2. Krok 2\boldsymbol{2} — trójkąt prostokątny przy wierzchołku AA. Opuśćmy wysokość z wierzchołka DD na podstawę ABAB i nazwijmy jej spodek PP. Trójkąt APDAPD jest prostokątny, jego przeciwprostokątną jest ramię ∣AD∣=4|AD| = \textcolor{#16A06A}{4}, a kąt przy AA ma 60∘\textcolor{#16A06A}{60^\circ}. Wtedy
  3. ∣AP∣=4⋅cos⁡60∘=4⋅12=2(rzut ramienia na podstawę)|AP| = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \cos \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{2} \qquad \text{(rzut ramienia na podstawę)}
  4. h=∣DP∣=4⋅sin⁡60∘=4⋅32=23(wysokosˊcˊ)h = |DP| = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} \qquad \text{(wysokość)}
  5. Krok 3\boldsymbol{3} — dłuższa podstawa. Trapez jest równoramienny, więc oba ramiona rzutują się na ABAB jednakowo — po 2\textcolor{#E0453A}{2} z każdej strony. Środkowy fragment ABAB ma tyle, co krótsza podstawa:
  6. ∣AB∣=2+6+2=10|AB| = \textcolor{#E0453A}{2} + \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{10}
  7. Krok 4\boldsymbol{4} — pole.
  8. P=∣AB∣+∣CD∣2⋅h=10+62⋅23=8⋅23=163P = \dfrac{|AB| + |CD|}{2} \cdot h = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{10} + \textcolor{#16A06A}{6}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} = 16\sqrt3
  9. Odpowiedź: P=163≈27,71P = 16\sqrt3 \approx 27{,}71.
  10. Kontrola drogą inną niż wzór na trapez — przez rozcięcie na trzy części. Trapez składa się z prostokąta o wymiarach 6×23\textcolor{#16A06A}{6} \times \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} i dwóch przystających trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych 2\textcolor{#E0453A}{2} i 23\textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}:
  11. P=6⋅23+2⋅12⋅2⋅23=123+43=163P = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} + 2 \cdot \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{12\sqrt3} + \textcolor{#E0453A}{4\sqrt3} = 16\sqrt3  ✓ ten sam wynik
  12. Kontrola sensowności: trapez zawiera się w prostokącie o wymiarach 10×23\textcolor{#E0453A}{10} \times \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}, czyli o polu 203\textcolor{#E0453A}{20\sqrt3}, i zawiera prostokąt o polu 123\textcolor{#E0453A}{12\sqrt3}. Wynik 16316\sqrt3 leży pomiędzy  ✓

💡 Wskazówka: Schemat, który działa w każdym trapezie równoramiennym z podanym kątem: opuść wysokość z wierzchołka krótszej podstawy i popatrz na powstały trójkąt prostokątny. Ramię jest w nim przeciwprostokątną, więc rzut to ramię⋅cos⁡α\text{ramię} \cdot \cos\alpha, a wysokość to ramię⋅sin⁡α\text{ramię} \cdot \sin\alpha — dwie brakujące liczby jednym ruchem. Dłuższa podstawa to wtedy krótsza plus dwa rzuty, bo trapez jest równoramienny i rzuty po obu stronach są równe. Warto mieć w pamięci, że przy kącie 60∘60^\circ rzut jest połową ramienia, a przy 45∘45^\circ rzut równa się wysokości.

⚠ Dodanie tylko jednego rzutu, czyli ∣AB∣=6+2=8|AB| = 6 + 2 = 8, i pole 8+62⋅23=143\tfrac{8+6}{2} \cdot 2\sqrt3 = 14\sqrt3. Trapez ma dwa ramiona i oba wystają za krótszą podstawę — rysunek to od razu pokazuje. Drugi błąd: pomylenie sinusa z cosinusem, czyli przyjęcie wysokości 4⋅cos⁡60∘=24 \cdot \cos 60^\circ = 2 i rzutu 4⋅sin⁡60∘=234 \cdot \sin 60^\circ = 2\sqrt3. Kontrola jest prosta: przy kącie 60∘60^\circ, czyli większym od 45∘45^\circ, ramię jest bardziej „pionowe” niż „poziome”, więc wysokość musi być większa od rzutu; 23≈3,46>22\sqrt3 \approx 3{,}46 > 2  ✓ Odwrotnie byłoby dopiero dla kąta mniejszego od 45∘45^\circ. Trzeci błąd: wstawienie do wzoru ramienia 44 w miejsce wysokości — ramię jest pochyłe, więc jest dłuższe od wysokości i pole wyszłoby za duże.

Zadanie 2 (marzec 2012)2 pktłatwe

Podstawy trapezu prostokątnego mają długość 66 i 1010 oraz tangens kąta ostrego jest równy 33. Oblicz pole tego trapezu.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P=96P = 96

  1. Krok 1\boldsymbol{1} — gdzie w trapezie prostokątnym siedzi kąt ostry. Trapez prostokątny ma dwa kąty proste (przy krótszym ramieniu, które jest zarazem wysokością) oraz jeden kąt ostry i jeden rozwarty. Kąt ostry leży przy dłuższej podstawie, między nią i ramieniem pochyłym.
  2. Krok 2\boldsymbol{2} — trójkąt prostokątny z różnicy podstaw. Odetnijmy od trapezu prostokąt: zostaje trójkąt prostokątny, w którym
  3.   • jedna przyprostokątna to wysokość trapezu, czyli hh,
  4.   • druga to różnica podstaw: 10−6=4\textcolor{#16A06A}{10} - \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{4},
  5.   • kąt ostry przy dłuższej podstawie leży właśnie w tym trójkącie.
  6. Krok 3\boldsymbol{3} — tangens. Tangens kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej. Kąt leży przy dłuższej podstawie, więc przyległa jest różnica podstaw, a przeciwległa — wysokość:
  7. tg α=h4=3⟹h=3⋅4=12\text{tg}\,\alpha = \dfrac{h}{\textcolor{#E0453A}{4}} = \textcolor{#16A06A}{3} \qquad \Longrightarrow \qquad h = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = \textcolor{#E0453A}{12}
  8. Krok 4\boldsymbol{4} — pole.
  9. P=10+62⋅12=8⋅12=96P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#16A06A}{6}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 96
  10. Odpowiedź: P=96P = 96.
  11. Kontrola drogą inną — przez rozcięcie na prostokąt i trójkąt. Prostokąt ma wymiary 6×12\textcolor{#16A06A}{6} \times \textcolor{#E0453A}{12}, a trójkąt przyprostokątne 4\textcolor{#E0453A}{4} i 12\textcolor{#E0453A}{12}:
  12. P=6⋅12+12⋅4⋅12=72+24=96P = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} + \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#E0453A}{72} + \textcolor{#E0453A}{24} = 96  ✓
  13. Kontrola sensowności: tangens większy od 11 znaczy, że kąt ostry jest większy od 45∘45^\circ, czyli ramię pochyłe jest bardziej pionowe niż poziome — a więc wysokość musi być większa od różnicy podstaw. I jest: 12>4\textcolor{#E0453A}{12} > \textcolor{#E0453A}{4}  ✓ Gdyby wyszła wysokość 43\tfrac43, byłoby to sprzeczne z daną.

💡 Wskazówka: W trapezie prostokątnym cała robota siedzi w jednym trójkącie, który powstaje po odcięciu prostokąta. Jego przyprostokątne to wysokość i różnica podstaw — i to jest jedyna rzecz, którą trzeba zapamiętać, bo z niej wynika wszystko: tangens kąta ostrego, długość ramienia pochyłego z Pitagorasa, sinus i cosinus. Uwaga na kierunek tangensa: kąt ostry leży przy dłuższej podstawie, więc przyległą przyprostokątną jest różnica podstaw, a przeciwległą wysokość, czyli tg α=ha−b\text{tg}\,\alpha = \tfrac{h}{a - b}. Szybka kontrola kierunku: tg α>1\text{tg}\,\alpha > 1 oznacza kąt większy od 45∘45^\circ, a więc wysokość większą od różnicy podstaw.

⚠ Odwrócenie tangensa, czyli h=43h = \tfrac{4}{3}, i pole 8⋅43=323≈10,78 \cdot \tfrac43 = \tfrac{32}{3} \approx 10{,}7. Poza tym, że kierunek jest zły, wynik przeczy danej: tangens 33 to kąt około 71∘71^\circ, więc ramię jest niemal pionowe, a wysokość musi być kilka razy większa od różnicy podstaw, nie mniejsza. Drugi błąd: przyjęcie, że przyległą przyprostokątną jest dłuższa podstawa (1010), a nie różnica podstaw — wtedy wysokość wychodzi 3030 i pole 240240. Trzeci błąd: uznanie liczby 33 za długość — to tangens, wielkość bez jednostki, a nie wysokość ani ramię. Czwarty: policzenie pola jako iloczynu podstaw albo jako 12⋅6⋅10\tfrac12 \cdot 6 \cdot 10; wzór na pole trapezu bierze średnią z podstaw i mnoży ją przez wysokość.

Zadanie 3 (grudzień 2024)4 pkttrudniejsze

W trapezie prostokątnym ABCDABCD dłuższa podstawa ABAB ma długość 7,57{,}5. Krótsza przekątna ACAC ma długość równą 66 i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek). Oblicz pole trapezu ABCDABCD.
Trapez prostokatny o dluzszej podstawie 7,5 i krotszej przekatnej 6, dzielacej go na dwa trojkaty prostokatne67,5ABCD
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P=22,14P = 22{,}14

  1. Krok 1\boldsymbol{1} — dwa trójkąty i to, co je łączy. Przekątna ACAC dzieli trapez na trójkąt ACDACD (kąt prosty przy DD) i trójkąt ACBACB (kąt prosty przy CC). W trójkącie ACBACB znamy oba potrzebne boki: przeciwprostokątną ∣AB∣=7,5|AB| = \textcolor{#16A06A}{7{,}5} i przyprostokątną ∣AC∣=6|AC| = \textcolor{#16A06A}{6}. Od niego zaczynamy.
  2. Krok 2\boldsymbol{2} — druga przyprostokątna trójkąta ACBACB.
  3. ∣CB∣2=7,52−62=56,25−36=20,25⟹∣CB∣=4,5|CB|^2 = \textcolor{#16A06A}{7{,}5}^2 - \textcolor{#16A06A}{6}^2 = 56{,}25 - 36 = \textcolor{#E0453A}{20{,}25} \qquad \Longrightarrow \qquad |CB| = \textcolor{#E0453A}{4{,}5}
  4. Warto zauważyć, że 6\textcolor{#16A06A}{6}, 4,5\textcolor{#E0453A}{4{,}5}, 7,5\textcolor{#16A06A}{7{,}5} to trójka 33, 44, 55 pomnożona przez 1,51{,}5 — rachunek można było przewidzieć.
  5. Krok 3\boldsymbol{3} — kąt, który przenosi informację. Teraz kluczowy ruch. Podstawy trapezu są równoległe: DC∥ABDC \parallel AB. Przekątna ACAC przecina te dwie proste, więc kąty DCADCA i CABCAB są naprzemianległe, czyli równe:
  6. ∢DCA=∢CAB\sphericalangle DCA = \sphericalangle CAB
  7. Ten sam kąt występuje więc w obu trójkątach — w jednym jako kąt przy AA, w drugim jako kąt przy CC. To on przenosi informację z trójkąta ACBACB, w którym wszystko wiemy, do trójkąta ACDACD, w którym nie wiemy nic poza przekątną.
  8. Krok 4\boldsymbol{4} — sinus i cosinus tego kąta z trójkąta ACBACB. Kąt przy AA, przeciwprostokątna 7,5\textcolor{#16A06A}{7{,}5}:
  9. cos⁡∢CAB=∣AC∣∣AB∣=67,5=0,8,sin⁡∢CAB=∣CB∣∣AB∣=4,57,5=0,6\cos \sphericalangle CAB = \dfrac{|AC|}{|AB|} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{\textcolor{#16A06A}{7{,}5}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}8}, \qquad \sin \sphericalangle CAB = \dfrac{|CB|}{|AB|} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4{,}5}}{\textcolor{#16A06A}{7{,}5}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6}
  10. Krok 5\boldsymbol{5} — boki trójkąta ACDACD. W tym trójkącie kąt prosty jest przy DD, przeciwprostokątną jest przekątna ∣AC∣=6|AC| = \textcolor{#16A06A}{6}, a kąt przy CC ma ten sam cosinus i sinus co policzone wyżej:
  11. ∣DC∣=6⋅cos⁡∢DCA=6⋅0,8=4,8(kroˊtsza podstawa)|DC| = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \cos \sphericalangle DCA = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}8} = \textcolor{#E0453A}{4{,}8} \qquad \text{(krótsza podstawa)}
  12. ∣AD∣=6⋅sin⁡∢DCA=6⋅0,6=3,6(wysokosˊcˊ)|AD| = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \sin \sphericalangle DCA = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}6} = \textcolor{#E0453A}{3{,}6} \qquad \text{(wysokość)}
  13. Krok 6\boldsymbol{6} — pole.
  14. P=∣AB∣+∣DC∣2⋅∣AD∣=7,5+4,82⋅3,6=6,15⋅3,6=22,14P = \dfrac{|AB| + |DC|}{2} \cdot |AD| = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{7{,}5} + \textcolor{#E0453A}{4{,}8}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3{,}6} = \textcolor{#E0453A}{6{,}15} \cdot \textcolor{#E0453A}{3{,}6} = 22{,}14
  15. Odpowiedź: P=22,14P = 22{,}14.
  16. Kontrola drogą inną — jako suma pól dwóch trójkątów, na które przekątna dzieli trapez. Oba są prostokątne, więc ich pola to połowy iloczynów przyprostokątnych:
  17. PACD=12⋅4,8⋅3,6=8,64,PACB=12⋅6⋅4,5=13,5P_{ACD} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{4{,}8} \cdot \textcolor{#E0453A}{3{,}6} = \textcolor{#E0453A}{8{,}64}, \qquad P_{ACB} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{4{,}5} = \textcolor{#E0453A}{13{,}5}
  18. P=8,64+13,5=22,14P = \textcolor{#E0453A}{8{,}64} + \textcolor{#E0453A}{13{,}5} = 22{,}14  ✓ ten sam wynik
  19. Kontrola danych: sprawdźmy, że przekątna ACAC naprawdę wychodzi 6\textcolor{#16A06A}{6} przy policzonych bokach. Z Pitagorasa w trójkącie ACDACD: 4,82+3,62=23,04+12,96=36=6\sqrt{\textcolor{#E0453A}{4{,}8}^2 + \textcolor{#E0453A}{3{,}6}^2} = \sqrt{23{,}04 + 12{,}96} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{36}} = \textcolor{#16A06A}{6}  ✓ i to zamyka rachunek.

💡 Wskazówka: Zadanie stoi na jednym spostrzeżeniu: przekątna przecina dwie równoległe podstawy, więc tworzy z nimi równe kąty naprzemianległe. Ten sam kąt pojawia się po obu stronach trapezu — dzięki temu można policzyć jego sinus i cosinus w trójkącie, w którym znamy wszystko, i użyć ich w trójkącie, w którym nie znamy nic. Bez tego przejścia trójkąt ACDACD jest nierozwiązywalny: ma tylko jedną znaną długość. Praktyczna kolejność pracy: najpierw znajdź trójkąt z dwiema znanymi długościami i policz w nim wszystko, potem przenieś kąt. I jeszcze jedno — kąt prosty przy CC nie jest tu przypadkiem ani ozdobą rysunku; bez niego trójkąt ACBACB też byłby nierozwiązywalny.

⚠ Przyjęcie, że przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty podobne albo przystające, i przepisanie boków z jednego do drugiego. Oba są prostokątne i mają wspólny bok ACAC, ale kąt prosty leży w nich w różnych miejscach — w ACDACD przy DD, w ACBACB przy CC — więc przekątna ACAC jest w jednym przeciwprostokątną, a w drugim przyprostokątną. To dokładnie ta różnica, którą wykorzystuje rozwiązanie. Drugi błąd: wzięcie ∣CB∣=4,5|CB| = 4{,}5 jako wysokości trapezu. Wysokością jest krótsze ramię ADAD, prostopadłe do obu podstaw; CBCB jest ramieniem pochyłym. Trzeci błąd: pominięcie kroku z kątem naprzemianległym i zgadnięcie, że ∣DC∣|DC| to połowa ∣AB∣|AB| albo że ∣AD∣=∣CB∣|AD| = |CB| — nic w treści tego nie mówi. Czwarty błąd: policzenie pola jako 12⋅7,5⋅3,6\tfrac12 \cdot 7{,}5 \cdot 3{,}6, czyli wzorem na trójkąt; trapez ma dwie podstawy i wchodzi ich średnia.

Zadanie 4 (czerwiec 2017)4 pkttrudniejsze

Ramię trapezu równoramiennego ABCDABCD ma długość 26\sqrt{26}. Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku 2:32 : 3. Oblicz pole tego trapezu.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P=25P = 25

  1. Krok 1\boldsymbol{1} — cztery trójkąty prostokątne. Przekątne są prostopadłe, więc dzielą trapez na cztery trójkąty, z których każdy ma kąt prosty w punkcie przecięcia. Nazwijmy ten punkt SS.
  2. Krok 2\boldsymbol{2} — dwa z nich są równoramienne. Trapez jest równoramienny, więc jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez środki obu podstaw — a przekątne są względem tej symetrii wymienne. Stąd ∣AS∣=∣BS∣|AS| = |BS| oraz ∣CS∣=∣DS∣|CS| = |DS|. Trójkąty ABSABS i CDSCDS są zatem prostokątne równoramienne.
  3. Krok 3\boldsymbol{3} — co znaczy stosunek 2:32 : 3. Punkt SS dzieli każdą przekątną w stosunku 2:3\textcolor{#16A06A}{2} : \textcolor{#16A06A}{3}, przy czym dłuższe kawałki leżą po stronie dłuższej podstawy. Oznaczmy
  4. ∣AS∣=∣BS∣=3t,∣CS∣=∣DS∣=2t|AS| = |BS| = \textcolor{#16A06A}{3}t, \qquad |CS| = |DS| = \textcolor{#16A06A}{2}t
  5. Krok 4\boldsymbol{4} — ramię z Pitagorasa. Ramię ADAD jest przeciwprostokątną trójkąta ADSADS, którego przyprostokątne to właśnie ∣AS∣|AS| i ∣DS∣|DS| — a kąt między nimi jest prosty, bo przekątne są prostopadłe:
  6. ∣AD∣2=(3t)2+(2t)2=9t2+4t2=13t2|AD|^2 = \left(\textcolor{#16A06A}{3}t\right)^2 + \left(\textcolor{#16A06A}{2}t\right)^2 = 9t^2 + 4t^2 = \textcolor{#E0453A}{13t^2}
  7. Podstawiamy daną ∣AD∣=26|AD| = \textcolor{#16A06A}{\sqrt{26}}:
  8. 13t2=26⟹t2=2⟹t=2\textcolor{#E0453A}{13}t^2 = 26 \qquad \Longrightarrow \qquad t^2 = \textcolor{#E0453A}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad t = \textcolor{#E0453A}{\sqrt2}
  9. Krok 5\boldsymbol{5} — długości przekątnych. Każda przekątna to suma dwóch kawałków:
  10. ∣AC∣=∣BD∣=3t+2t=5t=52|AC| = |BD| = \textcolor{#16A06A}{3}t + \textcolor{#16A06A}{2}t = \textcolor{#E0453A}{5}t = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt2}
  11. Krok 6\boldsymbol{6} — pole czworokąta o prostopadłych przekątnych. Gdy przekątne czworokąta są prostopadłe, jego pole to połowa ich iloczynu. Wzór ten znamy z rombu, ale prostopadłość przekątnych jest jedynym warunkiem, jaki jest do niego potrzebny:
  12. P=12⋅∣AC∣⋅∣BD∣=12⋅52⋅52=12⋅50=25P = \tfrac12 \cdot |AC| \cdot |BD| = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{5\sqrt2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5\sqrt2} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{50} = 25
  13. Odpowiedź: P=25P = 25.
  14. Kontrola drogą inną — przez wyznaczenie podstaw i wysokości, a potem zwykły wzór na pole trapezu. Trójkąt ABSABS jest prostokątny równoramienny o przyprostokątnych 3t=32\textcolor{#16A06A}{3}t = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}, więc
  15. ∣AB∣=32⋅2=6,a analogicznie∣CD∣=22⋅2=4|AB| = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2} \cdot \sqrt2 = \textcolor{#E0453A}{6}, \qquad \text{a analogicznie} \qquad |CD| = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt2} \cdot \sqrt2 = \textcolor{#E0453A}{4}
  16. Wysokość to suma odległości punktu SS od obu podstaw. W prostokątnym trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z kąta prostego jest połową przeciwprostokątnej, więc odległości te wynoszą 3\textcolor{#E0453A}{3} i 2\textcolor{#E0453A}{2}, a razem h=5h = \textcolor{#E0453A}{5}. Wtedy
  17. P=6+42⋅5=5⋅5=25P = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{6} + \textcolor{#E0453A}{4}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#E0453A}{5} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 25  ✓ ten sam wynik
  18. Kontrola danych: sprawdźmy ramię przy tych podstawach. Rzut ramienia na dłuższą podstawę to 6−42=1\tfrac{\textcolor{#E0453A}{6} - \textcolor{#E0453A}{4}}{2} = \textcolor{#E0453A}{1}, więc ∣AD∣=12+52=26|AD| = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{1}^2 + \textcolor{#E0453A}{5}^2} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{26}}  ✓ zgadza się z daną.

💡 Wskazówka: Dwa fakty otwierają to zadanie. Pierwszy: w czworokącie o prostopadłych przekątnych pole to połowa ich iloczynu — nie trzeba wtedy ani podstaw, ani wysokości. Drugi: w trapezie równoramiennym przekątne są równe i punkt przecięcia dzieli je w tym samym stosunku, a przy prostopadłości powstają dwa trójkąty prostokątne równoramienne — przy dłuższej i przy krótszej podstawie. Dzięki temu jedna niewiadoma tt opisuje cały trapez: wystarczy ją wyznaczyć z ramienia, które jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych 3t3t i 2t2t. Zwróć uwagę, że stosunek 2:32 : 3 nie mówi, który kawałek jest przy której podstawie — rozstrzyga to zdrowy rozsądek: dłuższy kawałek leży przy dłuższej podstawie.

⚠ Zastosowanie wzoru „połowa iloczynu przekątnych” bez sprawdzenia prostopadłości — w dowolnym trapezie ten wzór jest fałszywy, a tutaj wolno go użyć wyłącznie dlatego, że treść podaje prostopadłość. Drugi błąd: przyjęcie, że przekątne mają długości 22 i 33 (albo że są w stosunku 2:32:3 względem siebie). W trapezie równoramiennym przekątne są równe; stosunek 2:32:3 dotyczy podziału każdej z nich przez punkt przecięcia. Trzeci błąd: potraktowanie ramienia 26\sqrt{26} jako przekątnej albo jako przyprostokątnej — jest przeciwprostokątną trójkąta ADSADS. Czwarty błąd, rachunkowy: z 13t2=2613t^2 = 26 wyciągnięcie t=2t = 2 zamiast t2=2t^2 = 2; wtedy pole wychodzi 5050, czyli dwa razy za dużo. Warto wynik zweryfikować, wracając do danej: przy t=2t = \sqrt2 ramię wychodzi dokładnie 26\sqrt{26}.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P=163≈27,71P = 16\sqrt3 \approx 27{,}712. P=96P = 963. P=22,14P = 22{,}144. P=25P = 255. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Pola i obwody figur, klasy 4–6 — 12 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Pola i obwody figur, klasy 4–6 — 12 kart pracy PDF z kluczem

Ściąga ze wzorami i 12 kart: obwód wielokątów, pole w kratkach, prostokąt i kwadrat, jednostki pola, równoległobok, romb, trójkąt, trapez…

9,90 zł

Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Jaki jest wzór na pole trapezu?

P=(a+b)⋅h2P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}, gdzie aa i bb to długości podstaw, czyli boków równoległych, a hh to wysokość — odcinek prostopadły do obu podstaw. Ten sam wzór można czytać jako „średnia podstaw razy wysokość”.

Skąd się bierze wzór na pole trapezu?

Najprościej z przekątnej: dzieli ona trapez na dwa trójkąty o wspólnej wysokości hh i podstawach aa oraz bb. Suma ich pól to ah2+bh2=(a+b)h2\frac{ah}{2} + \frac{bh}{2} = \frac{(a+b)h}{2}. Drugie wyprowadzenie: dwa jednakowe trapezy składają się w równoległobok o podstawie a+ba+b.

Jak obliczyć pole trapezu bez wysokości?

Wysokość trzeba wyliczyć. W trapezie prostokątnym jest nią po prostu prostopadłe ramię. W równoramiennym opuszcza się wysokości z krótszej podstawy — powstają dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnej a−b2\frac{a-b}{2}, z których wysokość wychodzi twierdzeniem Pitagorasa.

Czy we wzorze dodaje się podstawy, czy ramiona?

Podstawy, czyli boki równoległe. Ramiona w tym wzorze nie występują wcale — pojawiają się dopiero wtedy, gdy trzeba z nich wyliczyć wysokość. Dodanie ramion daje wynik niezwiązany z polem figury.

Jak obliczyć wysokość trapezu, znając pole?

Ze wzoru h=2Pa+bh = \frac{2P}{a + b}. Powstaje z pomnożenia obu stron przez 22 i podzielenia przez sumę podstaw. Dla pola 8484, podstaw 99 i 1515 daje to h=16824=7h = \frac{168}{24} = 7.

Czy wzór na pole trapezu działa dla równoległoboku?

Tak. Równoległobok to trapez o równych podstawach, więc dla a=ba = b wzór daje 2a⋅h2=a⋅h\frac{2a \cdot h}{2} = a \cdot h — dokładnie wzór na pole równoległoboku. Nie trzeba go pamiętać osobno.

Jaki jest wzór na trapez?

Pytając o wzór na trapez, ma się zwykle na myśli wzór na jego pole: suma podstaw przez dwa, razy wysokość. Sam trapez nie ma jednego wzoru — osobno liczy się pole, a osobno obwód, który jest po prostu sumą wszystkich czterech boków.

Jak obliczyć pole trapezu prostokątnego?

Tym samym wzorem co każdy trapez: P=(a+b)⋅h2P = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2}. W trapezie prostokątnym wysokością jest ramię prostopadłe do podstaw, więc za h wstawiasz po prostu jego długość.

Czytaj dalej

Trapez prostokątnypochyłe ramię, przekątne, okrąg wpisany i kalkulatorTrapez równoramiennywysokość z ramienia, przekątna, okrąg wpisany i kalkulatorPola figurHub działu: wzory na pola wszystkich figur płaskichTrapez — własności figuryRodzaje trapezów i kąty; tu chodziło o samo poleTwierdzenie PitagorasaStąd bierze się wysokość, gdy nie ma jej w danychWzory na pole trójkątaWyprowadzenie przez przekątną prowadzi wprost tutajObwody figurObwód trapezu to suma czterech boków, bez wysokości
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Newsletter

Nowe karty pracy prosto na maila

Mail wychodzi wtedy, gdy pojawia się coś nowego — i nie częściej niż raz w tygodniu. Za zapis dostajesz pakiet startowy: karty pracy z pięciu działów sklejone w jeden plik do druku.

Bez spamu i bez sprzedawania adresów. Wypisujesz się jednym kliknięciem — link jest w każdym mailu.

PDF
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-22