Trapez to czworokąt, w którym dwa boki są równoległe. Ta jedna cecha pociąga za sobą wszystko inne: nazwy boków, rodzaje trapezów i regułę o kątach, która ratuje w połowie zadań. Komplet wzorów — obwód, linię środkową, pole i przekątne — zbieram w przedostatniej sekcji; rozwiązane zadania o samym polu mają własną stronę.
Dział: GeometriaPoziom: klasy 4–6Zadań z matury: 7
Krótko: Trapez to czworokąt, który ma dwa boki równoległe, zwane podstawami. Jego pole to P = (a + b) · h : 2, gdzie a i b są długościami podstaw, a h — wysokością.
Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.
Te dwa równoległe boki nazywamy podstawami — zwykle mówi się o podstawie dolnej i górnej, choć w zadaniu trapez może być obrócony i wtedy „dolna” bywa z boku. Dwa pozostałe boki to ramiona.
podstawya i b — para boków równoległych; prawie zawsze różnej długości,
ramionac i d — dwa pozostałe boki; nie są równoległe (poza szczególnym przypadkiem opisanym niżej),
wysokośćh — odcinek prostopadły do obu podstaw, łączący je.
Jak czytać kolory na tej stronie
Kolor mówi, jaką rolę pełni bok — ta sama zasada obowiązuje na wszystkich stronach serwisu i na ściągawce ze wzorami. Tutaj: na zielono podstawy a i b, na pomarańczowo ramiona c i d, na czerwono wysokość h.
Ten podział nie jest ozdobą — jest treścią tej strony. Ramię i wysokość to dwie różne rzeczy i dlatego mają dwa różne kolory. Gdy zobaczysz pomarańczowy odcinek, wiesz, że biegnie ukośnie; czerwony pada zawsze prostopadle do podstaw.
Jedno zastrzeżenie, żeby nie było nieporozumienia: ta legenda dotyczy definicji i przykładów na tej stronie. W rozwiązaniach zadań egzaminacyjnych, niżej, kolor pokazuje co innego — tam zielone jest to, co dane w treści, a czerwone to, co policzone po drodze. Tamten blok ma własną legendę tuż nad zadaniami.
Wysokość to pojęcie, przy którym najczęściej pada zadanie. Wysokość h nie jest ramieniem c — jest do podstaw prostopadła, a ramię zwykle biegnie ukośnie. Zbiegają się tylko w trapezie prostokątnym, gdzie jedno ramię pada pod kątem prostym i wtedy c=h.
Uwaga na dwie definicje
W polskich podręcznikach spotyka się zapis „co najmniej jedna para boków równoległych” i wtedy równoległobok jest szczególnym przypadkiem trapezu.
Rzadziej pojawia się wersja z „dokładnie jedną parą” — przy niej równoległobok trapezem nie jest.
Jeśli w zadaniu pojawia się pytanie „czy równoległobok to trapez”, sprawdź, którą definicję podaje twój podręcznik. Poza tym jednym pytaniem różnica nie ma znaczenia.
Podstawy, ramiona i wysokość trapezu
2Rodzaje trapezów
Trapezy dzielimy według tego, co dzieje się z ramionami.
rodzaj
co go wyróżnia
dodatkowe własności
dowolny
nic szczególnego
tylko podstawy równoległe
równoramienny
ramiona równej długości i nierównoległe
kąty przy każdej podstawie równe, przekątne równe, jest osiowosymetryczny
prostokątny
jedno ramię prostopadłe do podstaw
to ramię jest wysokością; dwa kąty proste
Trapez równoramienny ma najwięcej własności i dlatego najczęściej pojawia się w zadaniach (wzory, wysokość i kalkulator: trapez równoramienny). Ma oś symetrii — pionową prostą przechodzącą przez środki obu podstaw. To ona sprawia, że kąty przy dolnej podstawie są równe i że przekątne mają tę samą długość.
Uwaga na pułapkę językową: w trapezie równoramiennym ramiona są równej długości, ale wciąż nie są równoległe. Ten drugi warunek nie jest ozdobnikiem — to on odsiewa równoległoboki.
Dlaczego przy równoramiennym trzeba dopisać „nierównoległe”
Przyjęliśmy definicję z „co najmniej jedną parą”, a przy niej równoległobok też jest trapezem. W równoległoboku zaś ramiona zawsze są równej długości, bo boki przeciwległe są równe.
Gdyby więc „równoramienny” znaczyło samo „ramiona równej długości”, to romb o boku 5 byłby trapezem równoramiennym. A romb, który nie jest kwadratem, nie ma żadnej z własności z tabeli: kąty przy tej samej podstawie nie są równe, przekątne mają różne długości, a prosta przez środki podstaw nie jest osią symetrii.
Dlatego trapez równoramienny to taki, którego ramiona są równej długości i nie są równoległe — czyli trapez, który nie jest równoległobokiem.
Trapez prostokątny bywa najwygodniejszy w zadaniach, bo jego prostopadłe ramię jest jednocześnie wysokością — nie trzeba jej dorysowywać ani wyliczać (wzory i kalkulator: trapez prostokątny).
Trapez wraca później przy polach wielokątów, przekrojach brył i w zadaniach z układu współrzędnych. Kolejność tych tematów rozpisuję w przewodniku po dziale geometrii.
Trapez dowolny, równoramienny i prostokątny
Grupa A gratis · B–E w sklepie
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Prędkość, droga, czas i pola” (klasa 6), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły
3Kąty w trapezie
Tu jest reguła, która rozwiązuje większość zadań o kątach w trapezie — i wynika wprost z równoległości podstaw.
Kąty przy tym samym ramieniu
Suma kątów leżących przy tym samym ramieniu wynosi 180°.
Bierze się to stąd, że ramię przecina dwie proste równoległe, a kąty jednostronne wewnętrzne przy takich prostych zawsze dają 180° — to ta sama własność, którą opisuję przy kątach między prostymi równoległymi.
Do tego obowiązuje reguła wspólna wszystkim czworokątom: suma wszystkich czterech kątów to 360°. Obie razem wystarczają, żeby z jednego lub dwóch danych kątów wyliczyć resztę.
65°+115°=180°80°+100°=180°65°+80°+100°+115°=360°
W trapezie równoramiennym dochodzi trzecia własność: kąty przy każdej podstawie są równe. Wystarczy więc znać jeden kąt, żeby wyznaczyć wszystkie cztery.
W trapezie prostokątnym dwa kąty są proste, więc pozostałe dwa muszą dać razem 180° — co znów wynika z reguły o ramieniu.
Kąty w trapezie — przy każdym ramieniu razem 180°
4Trapez wśród innych czworokątów
Czworokąty układają się w rodzinę, w której kolejne figury dokładają warunki, nie tracąc poprzednich.
czworokąt — cztery boki, nic więcej,
trapez — dochodzi para boków równoległych,
równoległobok — obie pary boków równoległe,
romb — równoległobok o wszystkich bokach równych,
prostokąt — równoległobok o kątach prostych,
kwadrat — jednocześnie romb i prostokąt.
Stąd bierze się pytanie egzaminacyjne typu „czy kwadrat jest trapezem”. Przy definicji z „co najmniej jedną parą” — tak, bo kwadrat ma nawet dwie pary boków równoległych. To samo dotyczy prostokąta, rombu i równoległoboku.
Warto zapamiętać kierunek zależności: każdy równoległobok jest trapezem, ale nie każdy trapez jest równoległobokiem. Odwracanie takich zdań to jeden z najczęstszych błędów w zadaniach typu prawda–fałsz.
5Komplet wzorów trapezu
Oznaczenia jak wyżej: podstawy a i b (przy czym a to ta dłuższa), ramiona c i d, wysokość h. Kolumna liczbowa dotyczy trapezu równoramiennego o a=10, b=4 i ramionach c=d=5.
wielkość
wzór
dla a=10, b=4, c=d=5
obwód
Ob=a+b+c+d
24
linia środkowa
m=2a+b
7
pole
P=2a+b⋅h=m⋅h
28
wysokość (tylko równoramienny)
h=c2−(2a−b)2
4
przekątna (tylko równoramienny)
e=c2+ab
65
Linia środkowa łączy środki ramion i jest równoległa do podstaw. Jej długość to średnia arytmetyczna podstaw — i to ona tłumaczy wzór na pole: P=m⋅h, czyli dokładnie tyle, ile ma prostokąt o bokach m i h. Trapez o podstawach 10 i 4 ma więc takie samo pole jak prostokąt 7×4.
Rachunek dla przykładu z tabeli, żeby było widać, skąd biorą się liczby: podstawy różnią się o 10−4=6, a przy trapezie równoramiennym ta różnica rozkłada się po równo na dwa boki, czyli po 3. Stąd h=52−32=16=4, dalej m=210+4=7 i P=7⋅4=28. Przekątna: e=25+40=65 — zostaje w postaci dokładnej, bo 65 nie jest kwadratem.
Czego z samych boków policzyć się NIE da
Dwa ostatnie wiersze tabeli mają dopisek „tylko równoramienny” i to nie jest ostrożność na wyrost. W trapezie dowolnym wysokości z samych boków nie liczymy: różnica podstaw rozkłada się wtedy na obie strony nierówno, a wyznaczenie tego podziału wymaga układu równań i wykracza poza szkołę podstawową. W trapezie równoramiennym rachunek redukuje się do jednego Pitagorasa.
Dlatego w zadaniu o trapezie dowolnym wysokość musi być podana albo dać się wyliczyć z kąta — samo „a, b, c, d” nie wystarcza.
W trapezie prostokątnym jest łatwiej: tam jedno ramię jest wysokością, więc h znasz od razu.
Dwa fakty, które dochodzą w liceum i warto je znać już teraz, bo są krótkie:
Okrąg wpisany — trapez ma go dokładnie wtedy, gdy a+b=c+d, czyli suma podstaw równa się sumie ramion. Dla przykładu z tabeli: 10+4=14, a 5+5=10 — okręgu wpisanego więc nie ma.
Okrąg opisany — trapez, który nie jest równoległobokiem, ma go dokładnie wtedy, gdy jest równoramienny. Zastrzeżenie o równoległoboku nie jest czepianiem się: prostokąt też ma okrąg opisany, a równoramiennym trapezem — w rozumieniu z tabeli rodzajów — nie jest, bo jego ramiona są równoległe.
Rozwiązane zadania o samym polu, wraz z przypadkami, w których wysokość trzeba dopiero wyznaczyć, zebrałem osobno na stronie o polu trapezu.
Wzory trapezu z przykładem: a = 10, b = 4, c = d = 5
6Gdzie spotkasz trapez
Trapez jest z tych figur, które łatwiej rozpoznać w świecie niż na rysunku w zeszycie.
przekrój wału albo nasypu — szersza podstawa na dole, węższa na górze,
abażur lampy i doniczka — to trapez obrócony wokół osi,
prostokąt oglądany pod kątem — blat stołu, boisko czy okno widziane z ukosa rysuje się jako trapez; na tym stoi cały rysunek perspektywiczny,
działka budowlana — w zadaniach z treścią najczęściej właśnie trapezowa, bo rzadko która działka jest prostokątem.
W zadaniach z treścią trapez pojawia się prawie zawsze w kontekście pola: pola działki, ściany, przekroju. Wzór stoi w komplecie wzorów wyżej, a rozwiązane zadania o polu — na osobnej stronie o polu trapezu.
7Przykłady krok po kroku
Trzy przykłady o samej figurze: rozpoznanie rodzaju, wyliczenie kątów i trapez równoramienny.
Przykład 1 Rozpoznanie rodzaju trapezu
Czworokąt ma dokładnie jedną parę boków równoległych, a dwa pozostałe boki mają po 5 cm. Jaki to trapez? Czy te dwa boki są równoległe?
Para boków równoległych oznacza, że figura jest trapezem. Słowo dokładnie mówi dodatkowo, że drugiej takiej pary nie ma — czyli to nie równoległobok.
Ramiona c i d mają równe długości i nie są równoległe, więc jest to trapez równoramienny.
Pytanie o równoległość ramion jest podchwytliwe: ramiona są równej długości, ale nie są równoległe.
Gdyby były równoległe, obie pary boków byłyby równoległe — figurą byłby wtedy równoległobok o ramionach długości 5. Rombem byłby dopiero wtedy, gdyby także podstawy miały tę długość. Nazwy „trapez równoramienny” do takiej figury nie stosujemy, bo nie ma jego własności: ani równych kątów przy podstawie, ani równych przekątnych.
Dodatkowo mogę powiedzieć więcej: skoro trapez jest równoramienny, jego przekątne mają równą długość, a kąty przy każdej podstawie są równe.
Ma też oś symetrii przechodzącą przez środki podstaw ✓
Odpowiedź: Trapez równoramienny; ramiona są równej długości, ale nie są równoległe.
„Równoramienny” mówi o długości ramion, nie o ich kierunku. To rozróżnienie wraca w zadaniach prawda–fałsz i jest jedną z najczęstszych pomyłek w tym temacie.
Przykład 2 Wyliczenie kątów z dwóch danych
W trapezie ABCD podstawy AB i CD są równoległe. Kąt przy wierzchołku A ma 65°, a przy B — 80°. Oblicz pozostałe kąty.
Kąty A i D leżą przy tym samym ramieniu AD, więc ich suma to 180°.
Stąd kąt D ma 180°−65°=115°.
Kąty B i C leżą przy ramieniu BC, więc też sumują się do 180°.
Kontrola sensu: dwa kąty są ostre, dwa rozwarte — typowy układ dla trapezu dowolnego ✓
Odpowiedź: Kąt C=100°, kąt D=115°.
Zwróć uwagę, które kąty się parują: A z D i B z C, bo leżą przy tym samym ramieniu. Sparowanie A z B (przy tej samej podstawie) nie daje 180° i jest częstym błędem.
Przykład 3 Trapez równoramienny z jednego kąta
W trapezie równoramiennym kąt przy dolnej podstawie ma 72°. Oblicz wszystkie kąty.
W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są równe, więc oba kąty przy dolnej podstawie a mają po 72°.
Kąt przy górnej podstawie b leży przy tym samym ramieniu c co kąt dolny, więc dopełnia go do 180°.
180°−72°=108° — i tyle mają oba kąty przy górnej podstawie.
Sprawdzenie sumą: 72°+72°+108°+108°=360° ✓
Kontrola sensu: kąty przy węższej podstawie są rozwarte, przy szerszej ostre — zgadza się z tym, jak trapez wygląda ✓
Odpowiedź: Dwa kąty po 72° i dwa po 108°.
Jeden podany kąt wystarczył, bo równoramienność daje dwie informacje naraz: równość kątów przy podstawie i symetrię figury. W trapezie dowolnym trzeba by znać dwa kąty.
8Najczęstsze błędy
Cztery błędy — wszystkie dotyczą samej figury, nie rachunków.
Mylenie ramion równych z równoległymi
Skąd się bierze: Nazwa „trapez równoramienny” sugeruje, że coś jest tu równoległe, a chodzi wyłącznie o równą długość. Uczeń zapisuje, że ramiona są równoległe — a taka figura jest równoległobokiem i traci wszystko, po co się trapez równoramienny w zadaniach wybiera: równość kątów przy podstawie, równość przekątnych i oś symetrii.
Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj, że w trapezie równoległa jest para podstaw. Ramiona mogą być równej długości (trapez równoramienny) albo jedno z nich prostopadłe do podstaw (trapez prostokątny) — w obu tych rodzajach ramiona równoległe nie są. Równoległe ramiona ma tylko szczególny przypadek trapezu, czyli równoległobok.
Branie ramienia za wysokość
Skąd się bierze: W trapezie prostokątnym jedno ramię rzeczywiście jest wysokością i uczeń uogólnia to na wszystkie trapezy. W trapezie dowolnym ramię biegnie ukośnie i jest dłuższe od wysokości, więc podstawienie go do zadania zawyża wynik.
Jak zrobić dobrze: Wysokość to odcinek prostopadły do obu podstaw. Jeśli w zadaniu nie jest zaznaczona, trzeba ją dorysować — i dopiero wtedy szukać jej długości. Ramię jest wysokością wyłącznie w trapezie prostokątnym.
Parowanie kątów przy podstawie zamiast przy ramieniu
Skąd się bierze: Reguła 180° dotyczy kątów leżących przy tym samym ramieniu, a uczeń dodaje kąty przy tej samej podstawie. W trapezie ABCD daje to 65°+80°=145° zamiast poprawnej pary 65° i 115° — i cały dalszy rachunek się rozjeżdża.
Jak zrobić dobrze: Rysując trapez, zaznacz oba ramiona i pary kątów, które przy nich leżą. Kąty przy tej samej podstawie sumują się do 180° tylko w szczególnych przypadkach — nie jest to reguła.
Odwracanie zdania o zawieraniu się figur
Skąd się bierze: Ze zdania „każdy równoległobok jest trapezem” uczeń wyprowadza, że „każdy trapez jest równoległobokiem”. To odwrócenie jest fałszywe: trapez dowolny nie ma drugiej pary boków równoległych. Podobnie „każdy kwadrat jest rombem” nie znaczy, że każdy romb jest kwadratem.
Jak zrobić dobrze: Czytaj takie zdania jako zawieranie się zbiorów: równoległoboki są wewnątrz zbioru trapezów, więc strzałka działa w jedną stronę. Przy zadaniach prawda–fałsz zawsze sprawdź kierunek, zanim odpowiesz.
Zadania maturalne o trapezie — przekątne, ramiona i obwód
Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. To już materiał licealny: potrzebne są w nim Pitagoras, tangens, sinus i podobieństwo. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.
Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. W trapezie prostokątnym prawie wszystko sprowadza się do układu współrzędnych wpisanego w figurę: ramię prostopadłe do podstaw jest pionowe, obie podstawy poziome, a każdy odcinek — przekątna, ramię pochyłe, dowolny odcinek do punktu wewnątrz — jest przeciwprostokątną trójkąta o poziomej i pionowej przyprostokątnej. Stąd trzy narzędzia, które załatwiają praktycznie każde zadanie: 1. Pitagoras dla długości; 2. tangens, gdy dany jest kąt (bo obie przyprostokątne są „naturalne”); 3. podobieństwo albo równość kątów, gdy trzeba powiązać dwa różne trójkąty. Jedna rzecz jest przy tym warta zapamiętania na start: ramię prostopadłe do podstaw jest zarazem wysokością, a ramię pochyłe nie. Mylenie ich to najczęstszy błąd w całym dziale.
Zadania zamknięte
Zadanie 5(maj 2014)1 pktłatwe
Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60∘ i ramieniu długości 23 jest równa
A.2
B.3
C.3
D.23
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: C
Wysokość poprowadzona z końca krótszej podstawy odcina od trapezu trójkąt prostokątny, w którym ramię trapezu jest przeciwprostokątną, a wysokość — przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta ostrego.
sin60∘=23h
h=23⋅23=22⋅3=3
Odpowiedź: C.
Kontrola sensem: wysokość musi być krótsza od ramienia, bo jest przyprostokątną w trójkącie, którego ramię jest przeciwprostokątną. Tutaj 3<23≈3,46 ✓. Ta jedna nierówność odrzuca odpowiedź D, która ramieniu jest równa.
Kontrola drugą drogą: rzut ramienia na podstawę wynosi 23⋅cos60∘=3, a wtedy (3)2+32=3+9=12=23 ✓ — Pitagoras odtwarza ramię.
💡 Wskazówka: Nie licz niczego o samym trapezie — wytnij z niego trójkąt prostokątny przy ramieniu i pracuj tylko na nim. Wysokość leży naprzeciw kąta ostrego, więc odpowiada za nią sinus; rzut ramienia na podstawę leży przy tym kącie, więc cosinus.
⚠ Odpowiedź B, czyli 3 — to rzut ramienia na podstawę, czyli druga przyprostokątna tego samego trójkąta. Powstaje z użycia cosinusa zamiast sinusa. Odpowiedź D jest równa ramieniu, co jest niemożliwe: przyprostokątna nie może równać się przeciwprostokątnej. Odpowiedź A odpowiadałaby kątowi, którego sinus wynosi 31 — a to nie jest żaden z kątów spotykanych w tych zadaniach.
Zadanie 6(maj 2018)1 pktśrednie
Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości ∣KL∣=a, ∣MN∣=b, przy czym a>b. Kąt KLM ma miarę 60∘.
Długość ramienia LM tego trapezu jest równa
A.a−b
B.2(a−b)
C.a+21b
D.2a+b
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
W trapezie prostokątnym jedno ramię jest prostopadłe do obu podstaw, a drugie — pochyłe. Pytanie dotyczy pochyłego, przy którym leży kąt 60∘.
Rzut pochyłego ramienia na dłuższą podstawę to różnica podstaw, bo krótsza podstawa przykrywa resztę:
rzut=a−b
Ten rzut leży przy kącie 60∘, więc odpowiada za niego cosinus:
cos60∘=∣LM∣a−b⟹21=∣LM∣a−b
∣LM∣=2(a−b)
Odpowiedź: B.
Kontrola na konkretnych liczbach — najprostszy sposób sprawdzenia wyniku z literami. Weźmy a=5 i b=1. Rzut wynosi 4, kąt 60∘, więc ramię to cos60∘4=8. A wzór 2(a−b) daje 2⋅4=8 ✓.
Liczby do takiej kontroli trzeba jednak dobrać z głową. Przy a=5 i b=3 wzór B dałby 4 — ale wzór D, czyli 2a+b, też dałby 4. Taka próba nie odróżniłaby tych dwóch odpowiedzi. Przy a=5 i b=1 cztery wzory dają 4, 8, 5,5 i 3, czyli cztery różne liczby — i dopiero wtedy kontrola coś rozstrzyga.
Kontrola sensem: ramię pochyłe jest dłuższe od swojego rzutu, bo rzut to przyprostokątna, a ramię przeciwprostokątna. Odpowiedź A równa się dokładnie rzutowi, więc odpada bez rachunku.
💡 Wskazówka: Przy wyniku z literami zawsze podstaw konkretne liczby i sprawdź wzór — to zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje każdą pomyłkę w przekształceniu. A zanim policzysz: rzut pochyłego ramienia trapezu prostokątnego to zawsze różnica podstaw, nigdy suma.
⚠ Odpowiedź A, czyli a−b — podanie rzutu zamiast ramienia, czyli zatrzymanie się przed użyciem cosinusa. Odpowiedzi C i D zawierają sumę podstaw, która w tym rachunku w ogóle nie występuje; suma podstaw pojawia się we wzorze na pole trapezu i to stamtąd jest przeniesiona. Warto zauważyć, że odpowiedź D to długość odcinka łączącego środki ramion — wielkość prawdziwa w trapezie, ale odpowiadająca na inne pytanie.
Zadanie 7(marzec 2021)1 pkttrudniejsze
W trapezie równoramiennym ABCD podstawy AB i CD mają długości równe odpowiednio a i b (przy czym a>b). Miara kąta ostrego trapezu jest równa 30∘.
Wtedy wysokość tego trapezu jest równa
A.2a−b⋅3
B.6a−b⋅3
C.2a+b
D.4a+b
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: B
Trapez jest równoramienny, więc obie wysokości odcinają od dłuższej podstawy dwa jednakowe kawałki. Różnica podstaw dzieli się między nie po równo:
rzut jednego ramienia=2a−b
To jest przyprostokątna przy kącie 30∘, a wysokość leży naprzeciw niego — więc wiąże je tangens:
tg30∘=2a−bh⟹h=2a−b⋅33
h=6a−b⋅3
Odpowiedź: B.
Kontrola na liczbach: weźmy a=8, b=2. Rzut wynosi 3, a wysokość 3⋅tg30∘=3⋅33=3≈1,73. Wzór B daje 68−23=3 ✓, a wzór A — 33≈5,20, czyli trzy razy za dużo.
Kontrola sensem: kąt 30∘ jest mały, więc trapez jest płaski i wysokość musi być mniejsza od rzutu ramienia. Tutaj 3≈1,73<3 ✓. Odpowiedź A daje wysokość większą od rzutu, co przy kącie mniejszym od 45∘ jest niemożliwe.
💡 Wskazówka: Najpierw ustal, jaki kawałek dłuższej podstawy wystaje poza krótszą przy jednym ramieniu: w trapezie równoramiennym to połowa różnicy podstaw, w prostokątnym — cała różnica. Potem wybierz funkcję: rzut leży przy kącie, wysokość naprzeciw, więc łączy je tangens. I sprawdź na liczbach, bo wzory z literami różnią się tu tylko stałą.
⚠ Odpowiedź A — z pomnożenia przez 3 zamiast przez 33, czyli z użycia tg60∘ zamiast tg30∘. Wynik jest trzy razy za duży. Odpowiedzi C i D zawierają sumę podstaw, która przy liczeniu wysokości nie występuje w ogóle — pochodzi ze wzoru na pole. Odpowiedź C to długość odcinka środkowego trapezu.
Zadania otwarte
Zadanie 1(maj 2019)2 pktśrednie
W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze 30∘ (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej BD tego trapezu.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: ∣BD∣=217≈8,25
Krok 1 — gdzie leży kąt 30∘. Kąt jest zawarty między przekątną AC a krótszą podstawąDC, czyli leży przy wierzchołku C. Trójkąt ACD jest prostokątny (kąt prosty przy D, bo trapez jest prostokątny), więc znamy w nim przeciwprostokątną ∣AC∣=4 i kąt ostry 30∘ — to wystarcza, by policzyć obie przyprostokątne.
Krok 2 — wysokość trapezu. Naprzeciw kąta 30∘ leży przyprostokątna AD, czyli wysokość:
∣AD∣=4⋅sin30∘=4⋅21=2
Krok 3 — krótsza podstawa. Przy kącie 30∘ leży przyprostokątna DC:
∣DC∣=4⋅cos30∘=4⋅23=23
Tej długości do końca zadania nie użyjemy — ale warto ją mieć, żeby sprawdzić, czy trapez w ogóle się „domyka”: 23≈3,46 jest mniejsze od 8, więc DC faktycznie jest krótszą podstawą ✓
Krok 4 — przekątna BD. Teraz kluczowe spostrzeżenie: przekątna BD jest przeciwprostokątną trójkąta ABD, prostokątnego przy A. Jego przyprostokątne to cała dłuższa podstawaAB i wysokośćAD:
∣BD∣2=∣AB∣2+∣AD∣2=82+22=64+4=68
∣BD∣=68=4⋅17=217
Odpowiedź:∣BD∣=217≈8,25.
Kontrola przez współrzędne — droga zupełnie inna niż dwa trójkąty. Ustawmy A=(0,0), wtedy B=(8,0), D=(0,2) oraz C=(23,2). Sprawdźmy najpierw daną: ∣AC∣=(23)2+22=12+4=4 ✓
A teraz szukana: ∣BD∣=(8−0)2+(0−2)2=68=217 ✓
Kontrola sensowności: przekątna BD musi być dłuższa od dłuższej podstawy 8, bo jest przeciwprostokątną trójkąta, w którym AB jest przyprostokątną. I jest: 217≈8,25>8 ✓
💡 Wskazówka: Warto od razu zauważyć, że obie przekątne trapezu prostokątnego są przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych, i że te trójkąty są różne. Przekątna AC „opiera się” na krótszej podstawie i wysokości, a przekątna BD — na dłuższej podstawie i tej samej wysokości. Wysokość jest więc łącznikiem między nimi: liczymy ją z jednego trójkąta, używamy w drugim. To schemat, który działa w każdym trapezie prostokątnym: znajdź wysokość, a potem wszystko inne jest Pitagorasem. I jeszcze jedno — krótsza podstawa w tym zadaniu w ogóle nie jest potrzebna; policzenie jej to strata czasu, choć przydaje się jako kontrola.
⚠ Przyjęcie, że kąt 30∘ leży przy dłuższej podstawie, czyli przy wierzchołku A. Wtedy ∣AD∣=4⋅sin30∘ liczy się tak samo, ale krótsza podstawa wychodzi w innym miejscu i przy dalszych krokach wszystko się rozjeżdża. Treść mówi wprost: kąt z krótszą podstawą, a rysunek pokazuje go przy C. Drugi błąd: pomylenie sinusa z cosinusem i przyjęcie wysokości 23≈3,46. Kontrola jest natychmiastowa — naprzeciw mniejszego kąta leży krótszy bok, a 30∘ to kąt mały, więc leżąca naprzeciw niego wysokość musi być krótsza od drugiej przyprostokątnej. Trzeci błąd: policzenie ∣BD∣ z trójkąta opartego na krótszej podstawie, czyli (23)2+22=4 — to jest długość przekątnej AC, którą treść już podała. Jeżeli w rachunku wychodzi liczba, którą znaliśmy z treści, to znak, że policzyliśmy nie ten odcinek.
Zadanie 2(czerwiec 2022)2 pktśrednie
Dany jest trapez prostokątny ABCD. Podstawa AB tego trapezu jest równa 26, a ramię BC ma długość 24. Przekątna AC tego trapezu jest prostopadła do ramienia BC (zobacz rysunek). Oblicz długość ramienia AD.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: ∣AD∣=13120=9133≈9,23
Krok 1 — przekątna AC z Pitagorasa. Przekątna AC jest prostopadła do ramienia BC, więc trójkąt ABC jest prostokątny z kątem prostym przy C. Jego przeciwprostokątną jest podstawa ∣AB∣=26, a jedną przyprostokątną ramię ∣BC∣=24:
∣AC∣2=262−242=676−576=100⟹∣AC∣=10
Trójka 10, 24, 26 to znana trójka 5, 12, 13 pomnożona przez 2.
Krok 2 — czym w tym trójkącie jest szukane ramię AD. To jest sedno zadania. Ramię AD jest prostopadłe do obu podstaw, więc jest wysokością trapezu — czyli odległością między prostymi AB i DC. Ale punkt C leży na prostej DC, więc ta sama odległość to wysokość trójkąta ABC opuszczona z wierzchołka C na bok AB.
Innymi słowy: szukamy wysokości trójkąta prostokątnego poprowadzonej na przeciwprostokątną.
Krok 3 — pole trójkąta ABC policzone dwoma sposobami. Raz przez przyprostokątne, raz przez przeciwprostokątną i wysokość do niej:
P=21⋅∣AC∣⋅∣BC∣=21⋅10⋅24=120
P=21⋅∣AB∣⋅h=21⋅26⋅h=13h
Krok 4 — porównujemy.
13h=120⟹h=13120=9133
Odpowiedź:∣AD∣=13120=9133≈9,23.
Kontrola przez współrzędne — inną drogą. Ustawmy A=(0,0) i B=(26,0). Rzut wierzchołka C na podstawę wypada w odległości ∣AB∣∣AC∣2=26100=1350 od punktu A, więc C=(1350,13120). Sprawdzamy obie dane: ∣AC∣=(1350)2+(13120)2=132500+14400=13130=10 ✓ oraz ∣BC∣=24 ✓
A skoro D leży dokładnie nad A na wysokości punktu C, to ∣AD∣=13120 ✓
Kontrola sensowności: wysokość opuszczona na przeciwprostokątną jest zawsze krótsza od obu przyprostokątnych. I jest: 9,23<10<24 ✓
💡 Wskazówka: Dwa spostrzeżenia rozwiązują to zadanie. Pierwsze: prostopadłość przekątnej do ramienia zamienia trapez w trójkąt prostokątny o znanej przeciwprostokątnej i jednej przyprostokątnej — resztę daje Pitagoras. Drugie, ważniejsze: szukane ramię AD jest wysokością trapezu, a więc tą samą odległością co wysokość trójkąta ABC opuszczona na AB. Rozpoznanie tej równości jest całym zadaniem; potem wystarczy standardowy chwyt „pole dwoma sposobami”, który zamienia wysokość na iloraz. Warto zapamiętać wynikający z niego wzór: w trójkącie prostokątnym wysokość na przeciwprostokątną to h=ca⋅b, gdzie a, b to przyprostokątne, a c — przeciwprostokątna.
⚠ Uznanie, że szukane ∣AD∣ równa się przyprostokątnej ∣AC∣=10. Odcinek AC jest przekątną, biegnie ukośnie, a AD jest pionowe — to dwa różne odcinki i AD musi być krótsze. Drugi błąd: policzenie ∣AD∣ z Pitagorasa w trójkącie ACD jako 102−∣DC∣2 bez wcześniejszego wyznaczenia ∣DC∣ — koło się zamyka, bo krótszej podstawy też nie znamy. Trzeci błąd: przyjęcie, że skoro trapez jest prostokątny, to ∣AD∣=∣BC∣=24; ramię BC jest pochyłe, a prostopadłe do podstaw jest tylko AD. Czwarty błąd, rachunkowy: podanie wyniku jako 13120≈9,2 bez sprawdzenia — warto szybko potwierdzić, że 13⋅9=117, więc reszta wynosi 3, i stąd postać 9133.
Zadanie 3(sierpień 2024)2 pkttrudniejsze
Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: ∣AB∣=12 oraz ∣CD∣=6. Wysokość AD tego trapezu ma długość 24. Na odcinku AD leży punkt E taki, że ∣∢BEA∣=∣∢CED∣ (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka BE.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: ∣BE∣=20
Krok 1 — dwa trójkąty prostokątne po obu stronach punktu E. Ramię AD jest prostopadłe do obu podstaw, więc trójkąt BEA ma kąt prosty przy A, a trójkąt CED — kąt prosty przy D. Oznaczmy ∣AE∣=x; wtedy ∣ED∣=24−x, bo punkt E leży na odcinkuAD.
Krok 2 — warunek z treści zamieniony na równanie. Oba kąty przy E są kątami ostrymi w trójkątach prostokątnych, więc równość kątów możemy zapisać jako równość ich tangensów. W każdym z tych trójkątów przy kącie leży fragment ramienia AD, a naprzeciw — odpowiednia podstawa:
tg∢BEA=∣AE∣∣AB∣=x12,tg∢CED=∣ED∣∣DC∣=24−x6
Krok 3 — rozwiązujemy.
x12=24−x6
12(24−x)=6x⟹288−12x=6x⟹18x=288
x=∣AE∣=16,∣ED∣=24−16=8
Krok 4 — szukany odcinek. Trójkąt BEA jest prostokątny przy A, a BE jest jego przeciwprostokątną:
∣BE∣2=∣AE∣2+∣AB∣2=162+122=256+144=400
∣BE∣=20
Odpowiedź:∣BE∣=20.
Kontrola pierwsza — czy oba kąty naprawdę wyszły równe. tg∢BEA=1612=0,75 oraz tg∢CED=86=0,75 ✓ oba kąty mają miarę około 36,87∘.
Kontrola druga, przez podobieństwo. Skoro kąty przy E są równe i oba trójkąty są prostokątne, to BEA∼CED. Skala wynosi ∣DC∣∣AB∣=612=2, więc także ∣ED∣∣AE∣=2 — i faktycznie 816=2 ✓ Punkt E dzieli ramię AD w stosunku 2:1, licząc od A. Ta droga jest krótsza od równania: wystarczyło podzielić 24 na trzy części.
Kontrola trzecia: 12, 16, 20 to trójka 3, 4, 5 pomnożona przez 4 ✓ Odpowiednio ∣CE∣=10, bo trójkąt CED jest dwa razy mniejszy.
💡 Wskazówka: Równość kątów w takim układzie to zawsze zaproszenie do podobieństwa: oba trójkąty są prostokątne, więc równość jednego kąta ostrego wystarcza do cechy kąt-kąt. Najkrótsza droga wygląda tak — skala to stosunek podstaw, czyli 612=2, więc punkt E dzieli ramię w tym samym stosunku 2:1, a 24 podzielone w stosunku 2:1 daje 16 i 8. Bez żadnego równania. Wariant z tangensami jest równie dobry i bywa bezpieczniejszy, bo nie wymaga zgadywania, w którą stronę idzie skala; wtedy trzeba tylko pamiętać, że przy kącie leży fragment ramienia, a naprzeciw niego — podstawa.
⚠ Zapisanie tangensa „do góry nogami”, czyli ∣AB∣∣AE∣ zamiast ∣AE∣∣AB∣. Jeśli zrobić to konsekwentnie po obu stronach, równanie i tak wyjdzie poprawnie — ale wystarczy przypisać podstawy do niewłaściwych fragmentów ramienia, żeby dostać x=8, czyli zamienić∣AE∣ z ∣ED∣. Kontrola: większa podstawa 12 musi „patrzeć” na dłuższy fragment ramienia, więc ∣AE∣>∣ED∣. Drugi błąd: przyjęcie, że E jest środkiem odcinka AD, czyli ∣AE∣=12; nic w treści tego nie mówi, a warunek równości kątów wyznacza E jednoznacznie i wypada on poniżej środka. Trzeci błąd: podanie ∣AE∣=16 jako odpowiedzi — to długość fragmentu ramienia, a pytanie dotyczy odcinka BE, który jest przeciwprostokątną. Czwarty błąd: liczenie ∣BE∣ jako 242+122, czyli z pełną wysokością zamiast z fragmentem ∣AE∣.
Zadanie 4(maj 2010)2 pktśrednie
W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku
Odpowiedź: Obwód =15+33≈20,20
Krok 1 — który trójkąt jest równoboczny. Oznaczmy trapez ABCD, gdzie AB jest dłuższą podstawą, a kąty proste są przy wierzchołkach A i D. Krótsza przekątna AC dzieli go na trójkąty ACD i ABC.
Trójkąt ACD ma kąt prosty przy D, więc nie może być równoboczny — trójkąt równoboczny ma same kąty po 60∘. Zatem to trójkąt ABC jest równoboczny, a ACD jest tym prostokątnym.
Krok 2 — trzy boki od razu. Skoro trójkąt ABC jest równoboczny, a jego bok AB jest daną:
∣AB∣=∣BC∣=∣CA∣=6
To już dwa boki trapezu (AB i ramię BC) oraz przekątna, którą wykorzystamy w następnym kroku.
Krok 3 — kąt przy wierzchołku A. Kąt DAB jest prosty (trapez prostokątny), a kąt CAB ma 60∘, bo jest kątem trójkąta równobocznego. Przekątna dzieli więc kąt prosty na dwie części:
∢DAC=90∘−60∘=30∘
Krok 4 — dwa pozostałe boki z trójkąta ACD. Jest on prostokątny przy D, jego przeciwprostokątną jest przekątna ∣AC∣=6, a kąt przy A wynosi 30∘:
∣DC∣=6⋅sin30∘=3(kroˊtsza podstawa)
∣AD∣=6⋅cos30∘=33(wysokosˊcˊ, czyli kroˊtsze ramię)
Krok 5 — obwód. Dodajemy wszystkie cztery boki:
Obwoˊd=∣AB∣+∣BC∣+∣CD∣+∣DA∣=6+6+3+33=15+33
Odpowiedź: obwód =15+33≈20,20.
Kontrola pierwsza — czy DC naprawdę jest krótszą podstawą, jak zakładaliśmy: 3<6 ✓
Kontrola druga — czy AC jest krótszą przekątną, bo tak mówi treść. Druga przekątna to BD; w prostokątnym trójkącie ABD o przyprostokątnych 6 i 33 mamy ∣BD∣=36+27=63=37≈7,94. I rzeczywiście 6<7,94 ✓ Założenie z kroku 1 się broni.
Kontrola trzecia, na współrzędnych: A=(0,0), B=(6,0), D=(0,33), C=(3,33). Wtedy ∣BC∣=(6−3)2+(33)2=9+27=6 ✓ trójkąt ABC jest równoboczny.
💡 Wskazówka: Zadanie nie ma rysunku i to jest jego główna trudność — trzeba go sobie zrobić samemu, a potem rozstrzygnąć, który trójkąt jest równoboczny. Rozstrzyga to jedno zdanie: trójkąt zawierający kąt prosty trapezu nie może mieć samych kątów po 60∘. Dalej wszystko idzie już gładko, bo przekątna dzieli kąt prosty na 60∘ i 30∘, a trójkąt 30∘–60∘–90∘ o znanej przeciwprostokątnej ma obie przyprostokątne „z tabliczki”: połowa przeciwprostokątnej i połowa razy 3. Na koniec warto sprawdzić założenie, którego treść nie podaje wprost, a od którego zależy cała konfiguracja: że to właśnie AC jest krótszą przekątną.
⚠ Uznanie za równoboczny trójkąta ACD, czyli tego z kątem prostym. Jest to niemożliwe i wystarczy jedno zdanie, żeby to odrzucić — ale bez rysunku łatwo o tym nie pomyśleć. Drugi błąd: przyjęcie, że przekątna dzieli kąt prosty na połowy, czyli po 45∘; dzieli go na 60∘ i 30∘, bo jedna część jest kątem trójkąta równobocznego. Trzeci błąd: pominięcie w obwodzie jednego z boków — najczęściej krótszej podstawy 3 albo ramienia pochyłego 6; obwód trapezu to suma czterech boków, a przekątna AC do niego nie należy, mimo że pojawia się w każdym kroku rachunku. Czwarty błąd: podanie wyniku 18+33, czyli wliczenie przekątnej zamiast krótszej podstawy.
Odpowiedzi
Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.
1.∣BD∣=217≈8,25
2.∣AD∣=13120=9133≈9,23
3.∣BE∣=20
4. Obwód =15+33≈20,20
5. C
6. B
7. B
Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Sprawdź się na kartce
Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.
Płatny materiał · sklep
Pole trapezu — kartkówka, klasa 6
Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.
To czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Te równoległe boki nazywamy podstawami, a dwa pozostałe — ramionami. Odcinek prostopadły łączący obie podstawy to wysokość trapezu.
Jakie są rodzaje trapezów?
Trzy: dowolny (bez dodatkowych własności), równoramienny (ramiona równej długości i nierównoległe — bez tego drugiego warunku pasowałby też romb; kąty przy każdej podstawie równe, przekątne równe, oś symetrii) oraz prostokątny (jedno ramię prostopadłe do podstaw, dwa kąty proste — i to ramię jest jednocześnie wysokością).
Ile wynosi suma kątów w trapezie?
Jak w każdym czworokącie — 360°. Ważniejsza w zadaniach jest jednak druga reguła: kąty leżące przy tym samym ramieniu sumują się do 180°, bo ramię przecina dwie równoległe podstawy.
Czy w trapezie równoramiennym ramiona są równoległe?
Nie. Są równej długości, ale nie są równoległe — gdyby były, obie pary boków byłyby równoległe, czyli figurą byłby równoległobok. Równoległoboku nie nazywamy trapezem równoramiennym, bo nie ma jego własności: równych kątów przy podstawie, równych przekątnych ani osi symetrii przez środki podstaw.
Czy kwadrat i równoległobok to trapezy?
Przy definicji z „co najmniej jedną parą boków równoległych” — tak, bo mają nawet dwie takie pary. Część podręczników używa jednak wersji z „dokładnie jedną parą” i wtedy nie są. Jeśli zadanie o to pyta, sprawdź definicję w swoim podręczniku.
Czym różni się wysokość trapezu od ramienia?
Wysokość jest prostopadła do obu podstaw, a ramię biegnie zwykle ukośnie i jest od niej dłuższe. Pokrywają się tylko w trapezie prostokątnym, gdzie jedno ramię stoi prostopadle do podstaw. W pozostałych trapezach wysokość trzeba dorysować.
Czy prostokąt jest trapezem?
Przy szkolnej definicji trapezu („co najmniej jedna para boków równoległych”) tak — prostokąt ma nawet dwie pary boków równoległych. W podręcznikach z definicją „dokładnie jedna para” prostokąt trapezem nie jest, więc w zadaniu sprawdź, której definicji używa Twoja klasa.
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-08-03. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki i pedagog
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-09
Nie każ mu liczyć!
KOLOR I KOD
Kolorowy kod
Sprawdź kod. Pokoloruj każdą figurę tak, jak pokazuje wzór.
2
=
=
=
=
Nie każ mu liczyć!niekazmuliczyc.pl
Nie każ mu liczyć!NIEKAZMULICZYC.PL
KARTY PRACY
Koncentracja krok po kroku
30 ćwiczeń, które uczą uważnego patrzenia, porównywania i kończenia tego, co się zaczęło. Po jednym dziennie — bez pośpiechu.
TA KSIĄŻECZKA NALEŻY DO
DATA ROZPOCZĘCIA
AUTORMateusz Będkowski
SPOSTRZEGAWCZOŚĆ
Połącz te same kolory
Połącz linią kropki w tym samym kolorze.
1
Nie każ mu liczyć!niekazmuliczyc.pl
Nowość · za darmo
Koncentracja krok po kroku
30 kart pracy, które uczą dziecko uważnego patrzenia i kończenia tego, co zaczęło. Cały PDF wrzucam za darmo do grupy na Facebooku — bez zapisów.
