Strona główna › Geometria › Pole rombu — trzy wzory i jak wybrać właściwy

Pole rombu — trzy wzory i jak wybrać właściwy

Romb jest jedną z niewielu figur w szkole, dla których podaje się trzy różne wzory na pole. To nie jest komplikacja dla samej komplikacji: każdy z nich pasuje do innego zestawu danych, a całą trudność zadania stanowi zwykle wybór właściwego. Kto zna tylko wzór z przekątnych, w połowie zadań utknie już na starcie.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 5–8Zadań z matury: 4

Krótko: pole rombu najczęściej liczy się z przekątnych: P=e⋅f2\boldsymbol{P = \dfrac{e \cdot f}{2}} — pomnóż przekątne i podziel wynik przez 2. W podręcznikach przekątne oznacza się zwykle literami e i f (albo d₁ i d₂). Gdy znasz bok i wysokość: P=a⋅h\boldsymbol{P = a \cdot h}. Przykład: e=6 cme = 6\ \text{cm}, f=8 cmf = 8\ \text{cm}, więc P=6⋅82=24 cm2P = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24\ \text{cm}^2.

Kalkulator pola rombu

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

1Wzór na pole rombu — trzy sposoby i kiedy który

Wszystkie trzy dają ten sam wynik — różnią się tylko tym, co trzeba mieć w danych.

Animacja się ładuje…
wzórgdy w zadaniu są…poziom
P=d1⋅d22P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}obie przekątneklasy 5–6
P=a⋅hP = a \cdot hbok i wysokośćklasy 5–6
P=a2⋅sin⁡αP = a^2 \cdot \sin\alphabok i kątliceum i matura

Pierwszy wzór jest charakterystyczny dla rombu — działa, bo przekątne rombu są prostopadłe. Dla zwykłego równoległoboku nie zadziała.

Drugi to po prostu wzór na pole równoległoboku, a romb jest równoległobokiem. Uwaga na literę hh: to wysokość opuszczona na bok, a nie połowa przekątnej.

Trzeci przydaje się najczęściej na maturze, gdzie dane to zwykle bok i kąt. Wynika z drugiego, bo h=a⋅sin⁡αh = a \cdot \sin\alpha. Wymaga jednak sinusa, a trygonometrii nie ma w podstawie programowej klas VII–VIII — ósmoklasista spotka ten wzór najwyżej w podręczniku jako materiał dodatkowy. Dwa pierwsze wzory wystarczają do wszystkiego, co jest na egzaminie ósmoklasisty.

Jak wybrać w trzy sekundy

Spójrz, co jest dane, nie co jest wygodne.

Dwie przekątne → wzór pierwszy. Bok i wysokość → drugi. Bok i kąt → trzeci.

Jeśli dane nie pasują do żadnego wprost — na przykład masz obwód i kąt — najpierw przelicz je na jedną z tych par. Obwód podzielony przez 44 daje bok, a wtedy pasuje wzór trzeci.

Ostatnia uwaga o kącie: nie ma znaczenia, czy weźmiesz kąt ostry, czy rozwarty. Sinusy kątów przyległych są równe, bo sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha. Dla α=150∘\alpha = 150^\circ i α=30∘\alpha = 30^\circ wyjdzie to samo.

2Pole rombu z przekątnych — skąd się bierze ten wzór

To jedyny z trzech wzorów, którego warto raz nie zapamiętać, tylko zobaczyć.

Animacja się ładuje…

Przekątne rombu przecinają się w połowie i pod kątem prostym. Dzielą go więc na cztery przystające trójkąty prostokątne, których przyprostokątne to połówki przekątnych: d12\frac{d_1}{2} i d22\frac{d_2}{2}.

P=4⋅12⋅d12⋅d22=d1⋅d22P = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{\frac{d_1}{2}} \cdot \textcolor{#16A06A}{\frac{d_2}{2}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

Jest i drugi sposób patrzenia: romb mieści się dokładnie w prostokącie o bokach d1d_1 i d2d_2 — takim, którego boki są równoległe do przekątnych. Romb zajmuje połowę tego prostokąta, stąd dzielenie przez 22.

Ten drugi obraz jest wart zapamiętania, bo od razu daje kontrolę sensu: pole rombu musi być mniejsze od iloczynu przekątnych i to dokładnie o połowę.

Dlaczego to nie działa dla każdego równoległoboku

Wzór d1d22\frac{d_1 d_2}{2} wymaga, żeby przekątne były prostopadłe — inaczej trójkąty przestają być prostokątne i cały rachunek się rozsypuje.

Prostopadłe przekątne mają: romb, kwadrat i deltoid. Zwykły równoległobok i prostokąt — nie. Dla nich ten wzór daje wynik zawyżony.

Kwadrat jest rombem, więc wolno w nim liczyć pole tak samo: P=d⋅d2=d22P = \frac{d \cdot d}{2} = \frac{d^2}{2}.

3Jak obliczyć pole rombu z boku i kąta

To najczęstszy układ danych na maturze — i ten, w którym najłatwiej się zgubić. W klasie ósmej pojawia się tylko z kątem 60∘60^\circ albo 120∘120^\circ, liczonym przez trójkąt równoboczny, bez sinusa.

Animacja się ładuje…
P=a2⋅sin⁡αP = a^2 \cdot \sin\alpha

Wzór wynika wprost z P=a⋅hP = a \cdot h. Wysokość opuszczona na jedno ramię kąta α\alpha z końca drugiego ramienia tworzy trójkąt prostokątny, w którym bok aa jest przeciwprostokątną, a hh leży naprzeciw kąta α\alpha — czyli h=asin⁡αh = a \sin\alpha. Po podstawieniu: P=a⋅asin⁡α=a2sin⁡αP = a \cdot a \sin\alpha = a^2 \sin\alpha.

Warto znać trzy wartości, które wracają w zadaniach najczęściej:

kątsin⁡\sinpole rombu o boku aa
30∘30^\circ lub 150∘150^\circ12\frac{1}{2}a22\frac{a^2}{2}
45∘45^\circ lub 135∘135^\circ22\frac{\sqrt{2}}{2}a222\frac{a^2\sqrt{2}}{2}
60∘60^\circ lub 120∘120^\circ32\frac{\sqrt{3}}{2}a232\frac{a^2\sqrt{3}}{2}

Zwróć uwagę na przypadek 60∘60^\circ: taki romb składa się z dwóch trójkątów równobocznych sklejonych bokiem. Jego pole to więc dwa razy pole trójkąta równobocznego, czyli 2⋅a234=a2322 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} — zgadza się z tabelą ✓

Przy kącie 90∘90^\circ romb jest kwadratem, a sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1, więc wzór daje P=a2P = a^2. Wszystkie przypadki szczególne wychodzą z jednego wzoru — nic osobnego do pamiętania.

4Liczenie w drugą stronę i typowe dane pośrednie

Zadania rzadko podają dokładnie to, czego wymaga wzór. Zwykle trzeba wykonać jeden krok pośredni.

Animacja się ładuje…
w zadaniu jestkrok pośrednipotem
obwóda=L4a = \frac{L}{4}wzór z bokiem
pole i jedna przekątnad2=2Pd1d_2 = \frac{2P}{d_1}gotowe
bok i jedna przekątnaPitagoras w ćwiartce rombudruga przekątna
iloczyn przekątnychP=iloczyn2P = \frac{\text{iloczyn}}{2}gotowe, bez liczenia obu

Trzeci wiersz to najczęstszy rachunek w tym temacie. Ćwiartka rombu jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej aa i przyprostokątnych d12\frac{d_1}{2}, d22\frac{d_2}{2}, więc:

a2=(d12)2+(d22)2a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2

Obwód rombu jest zawsze czterokrotnością boku, bo wszystkie boki są równe — to najprostsza rzecz na tej stronie i zarazem ta, o której najłatwiej zapomnieć, gdy zadanie podaje obwód zamiast boku.

Ostatnia rzecz: pole podaje się w jednostkach kwadratowych. Jeśli przekątne są w centymetrach, pole wyjdzie w cm². Zamiana na m² wymaga dzielenia przez 10 00010\,000, a nie przez 100100.

Karta pracy PDF — pole rombu (klasy 5–6). Cztery narysowane romby do policzenia, zadania z bokiem i wysokością, z obwodu, „w drugą stronę” i jedno dla klas 7–8. Z kluczem odpowiedzi.

Pobierz kartę PDF

5Jak obliczyć pole rombu — przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wzór z przekątnych, obwód i kąt, oraz droga od boku i przekątnej do pola.

Przykład 11 Pole z dwóch przekątnych

Romb ma przekątne 30 cm30\ \text{cm} i 16 cm16\ \text{cm}. Oblicz jego pole i obwód.

  1. Pole ze wzoru: P=30⋅162=4802=240P = \frac{30 \cdot 16}{2} = \frac{480}{2} = 240 cm².
  2. Kontrola prostokątem: romb mieści się w prostokącie 30×1630 \times 16 o polu 480480 i zajmuje jego połowę ✓
  3. Obwód wymaga boku, więc liczę go z ćwiartki rombu. Połówki przekątnych to 1515 i 88.
  4. Z Pitagorasa: a2=152+82=225+64=289a^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289, więc a=17a = 17 cm.
  5. Obwód: 4⋅17=684 \cdot 17 = 68 cm.
  6. Wysokość z drugiego wzoru na pole: h=Pa=24017≈14,12h = \frac{P}{a} = \frac{240}{17} \approx 14{,}12 cm, bo 17⋅h=24017 \cdot h = 240 cm².

Odpowiedź: Pole 240 cm2\boldsymbol{240\ \text{cm}^2}, obwód 68 cm\boldsymbol{68\ \text{cm}}

Ostatni krok jest wart uwagi z dwóch powodów. Po pierwsze, pokazuje, jak z pola i boku wyznaczyć wysokość. Po drugie, wyszła z niego relacja, którą warto zapamiętać: wysokość rombu nigdy nie jest dłuższa od boku (tu 14,12<1714{,}12 < 17), bo wysokość to najkrótsza droga między dwoma bokami równoległymi. Równość zachodzi w jednym przypadku — gdy romb jest kwadratem; wtedy wysokość pokrywa się z bokiem. To dobra ilustracja reguły, że zdanie o rombie zaczynające się od „zawsze" trzeba sprawdzić na kwadracie, bo kwadrat też jest rombem. Bok wyszedł całkowity, bo 88, 1515, 1717 to trójka pitagorejska — rzadsza niż 33–44–55, ale w zadaniach o rombie wygodna, bo obie połówki przekątnych są całkowite.

Przykład 22 Obwód i kąt rozwarty

Romb ma obwód 2020 i kąt rozwarty 120∘120^\circ. Oblicz jego pole.

  1. Dany jest obwód, a nie bok — więc pierwszy krok to a=204=5a = \frac{20}{4} = 5.
  2. Dane to teraz bok i kąt, czyli pasuje wzór P=a2sin⁡αP = a^2 \sin\alpha.
  3. Kąt rozwarty ma 120∘120^\circ, a sin⁡120∘=32\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} — tyle samo co sin⁡60∘\sin 60^\circ, bo sinusy kątów przyległych są równe.
  4. Podstawiam: P=52⋅32=2532P = 5^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}.
  5. Wynik zostaje w postaci dokładnej: 2532\frac{25\sqrt{3}}{2}. Bez polecenia nie zamieniamy go na liczbę dziesiętną.
  6. Kontrola sensu: gdyby romb był kwadratem o boku 55, pole wynosiłoby 2525. Romb „położony” na kąt 120∘120^\circ musi mieć pole mniejsze — i ma ✓

Odpowiedź: P=2532P = \frac{25\sqrt{3}}{2}

Dwa kroki pośrednie: obwód → bok, kąt rozwarty → sinus kąta ostrego. Oba są miejscem, w którym zadanie sprawdza, czy uczeń czyta dane, zamiast od razu podstawiać.

Przykład 33 Bok i jedna przekątna

Romb ma bok 10 cm10\ \text{cm} i jedną przekątną 12 cm12\ \text{cm}. Oblicz pole.

  1. Wzór z przekątnych wymaga obu, a mam jedną — muszę doliczyć drugą.
  2. Ćwiartka rombu to trójkąt prostokątny: przeciwprostokątna 1010, jedna przyprostokątna to połowa danej przekątnej, czyli 122=6\frac{12}{2} = 6.
  3. Z Pitagorasa: (d22)2=102−62=100−36=64\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64, więc d22=8\frac{d_2}{2} = 8.
  4. Cała druga przekątna: d2=2⋅8=16d_2 = 2 \cdot 8 = 16 cm.
  5. Pole: P=12⋅162=1922=96P = \frac{12 \cdot 16}{2} = \frac{192}{2} = 96 cm².
  6. Kontrola sensu: obie przekątne muszą być krótsze od podwojonego boku, czyli od 2020 — a 1212 i 1616 są ✓
  7. Kontrola drugim wzorem: h=9610=9,6h = \frac{96}{10} = 9{,}6 cm, i rzeczywiście 9,6<109{,}6 < 10, bo wysokość rombu nie może być dłuższa od boku (równa jest tylko w kwadracie) ✓

Odpowiedź: P=96P = 96 cm²

Trójka 66–88–1010 to powiększona trójka 33–44–55. Autorzy zadań sięgają po nią stale, więc warto ją rozpoznawać — oszczędza liczenia pierwiastka.

6Najczęstsze błędy przy liczeniu pola rombu

Cztery błędy — pierwsze dwa odpowiadają za większość utraconych punktów.

Mnożenie przekątnych bez dzielenia przez 2

Skąd się bierze: Zapis P=30⋅16=480\textcolor{#9b1c14}{P = 30 \cdot 16 = 480} zamiast 240240 daje wynik dwa razy za duży. To pole prostokąta, w którym romb się mieści, a nie samego rombu. Rachunek wygląda poprawnie, więc rzadko bywa sprawdzany.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj obraz, nie wzór: romb zajmuje połowę prostokąta zbudowanego na jego przekątnych. Jeśli w odpowiedzi wyszedł pełny iloczyn przekątnych, brakuje dzielenia.

Podstawienie połowy przekątnej jako wysokości

Skąd się bierze: We wzorze P=a⋅hP = a \cdot h litera hh oznacza wysokość opuszczoną na bok, a nie połówkę przekątnej. Podstawienie połówki przekątnej daje liczbę, która nie ma związku z polem — w rombie o boku 1717 i przekątnych 3030 i 1616 wysokość wynosi około 14,1214{,}12, a połówki przekątnych to 1515 i 88.

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, do czego odcinek jest prostopadły. Wysokość jest prostopadła do boku; przekątne są prostopadłe do siebie nawzajem. To dwie różne rzeczy w tej samej figurze.

Branie sinusa kąta rozwartego za coś innego niż sinus ostrego

Skąd się bierze: Uczeń widzi 150∘150^\circ, nie znajduje tej wartości w tablicach dla kątów ostrych i utyka albo wpisuje wartość ujemną. Tymczasem sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} — sinusy kątów przyległych są równe.

Jak zrobić dobrze: Przy kącie rozwartym α\alpha policz 180∘−α180^\circ - \alpha i użyj sinusa tego kąta ostrego. W rombie i tak nie ma znaczenia, który z dwóch kątów weźmiesz — wynik będzie ten sam.

Użycie wzoru z przekątnych dla równoległoboku

Skąd się bierze: Wzór d1d22\frac{d_1 d_2}{2} działa tylko wtedy, gdy przekątne są prostopadłe. W zwykłym równoległoboku nie są, więc wzór daje wynik zawyżony — a wygląda tak samo poprawnie jak w rombie.

Jak zrobić dobrze: Zanim go użyjesz, sprawdź, czy figura ma prostopadłe przekątne. Mają je: romb, kwadrat i deltoid. Dla równoległoboku i prostokąta użyj P=a⋅hP = a \cdot h.

Zadania maturalne — pole rombu

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane. Czerwone — to, co z tego wynika. Romb to równoległobok o równych bokach, więc działa na nim wszystko, co na równoległoboku — tylko prościej, bo boki są takie same: P=a2sin⁡αP = a^2\sin\alpha. Drugi wzór, przez przekątne, jest równie ważny: P=12d1d2P = \tfrac12 d_1 d_2. Z zestawienia obu wynika użyteczna rzecz — iloczyn przekątnych to podwojone pole. Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą kąty na połowy, więc jeśli kąt rombu wynosi α\alpha, to d1=2acos⁡α2d_1 = 2a\cos\tfrac{\alpha}{2} oraz d2=2asin⁡α2d_2 = 2a\sin\tfrac{\alpha}{2}. I jak w każdym równoległoboku: kąt ostry i rozwarty dają ten sam sinus, więc nie trzeba sprawdzać, który z nich podano.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2019)1 pktłatwe

Dany jest romb o boku długości 44 i kącie rozwartym 150∘150^\circ. Pole tego rombu jest równe
  • A. 88
  • B. 1212
  • C. 838\sqrt{3}
  • D. 1616
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Bok i kąt są podane wprost, więc wystarczy podstawić do wzoru P=a2sin⁡αP = a^2\sin\alpha.
  2. sin⁡150∘=sin⁡(180∘−150∘)=sin⁡30∘=12\sin \textcolor{#16A06A}{150^\circ} = \sin(180^\circ - 150^\circ) = \sin 30^\circ = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}
  3. P=42⋅12=16⋅12=8P = \textcolor{#16A06A}{4}^2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = 16 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{8}
  4. Odpowiedź: A.
  5. Kontrola rzędem wielkości: a2=16a^2 = 16 to pole kwadratu o tym boku. Romb o kącie innym niż prosty ma pole mniejsze, a przy kącie tak „płaskim” jak 150∘150^\circ — wyraźnie mniejsze. Wyszła dokładnie połowa, bo sin⁡150∘=12\sin 150^\circ = \tfrac12.
  6. Warto zobaczyć, skąd biorą się pozostałe odpowiedzi. Każda z nich to 1616 pomnożone przez jakąś liczbę: 88 przez 12\tfrac12, 838\sqrt3 przez 32\tfrac{\sqrt3}{2}, a 1616 przez 11. Pierwsza to sin⁡150∘\sin 150^\circ, druga sin⁡60∘\sin 60^\circ, trzecia sin⁡90∘\sin 90^\circ — czyli trzy „ładne” kąty. Tylko odpowiedź BB nie odpowiada żadnemu z nich.

💡 Wskazówka: Podstawiaj kąt rozwarty wprost — sin⁡150∘\sin 150^\circ i sin⁡30∘\sin 30^\circ to ta sama liczba, więc sinus kąta rozwartego odczytujesz tak samo jak sinus kąta ostrego, który dopełnia go do 180∘180^\circ. Wynik zawsze porównaj z a2a^2: pole rombu jest od niego mniejsze, chyba że romb jest kwadratem.

⚠ Odpowiedź DD, czyli 1616 — potraktowanie rombu jak kwadratu, czyli pominięcie sinusa. Odpowiedź CC, czyli 838\sqrt3, odpowiada kątowi 60∘60^\circ zamiast 150∘150^\circ — powstaje, gdy ktoś odejmuje 150∘150^\circ od 210∘210^\circ albo po prostu sięga po najczęściej używany sinus. Kontrola: przy kącie bliskim 180∘180^\circ romb jest niemal płaski, więc jego pole musi być małe — a 83≈13,98\sqrt3 \approx 13{,}9 to prawie tyle, co pole kwadratu.

Zadanie 2 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Pole rombu o obwodzie 2020 i kącie rozwartym 120∘120^\circ jest równe
  • A. 2532\dfrac{25\sqrt{3}}{2}
  • B. 532\dfrac{5\sqrt{3}}{2}
  • C. 252\dfrac{25}{2}
  • D. 2534\dfrac{25\sqrt{3}}{4}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Tym razem bok nie jest podany wprost — jest schowany w obwodzie. To jest jedyny dodatkowy krok względem poprzedniego zadania.
  2. Romb ma cztery równe boki, więc:
  3. a=204=5a = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{20}}{4} = \textcolor{#E0453A}{5}
  4. P=a2sin⁡α=52⋅sin⁡120∘=25⋅32=2532P = a^2 \sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{5}^2 \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{120^\circ} = 25 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{25\sqrt3}{2}}
  5. Odpowiedź: A.
  6. Kontrola rzędem wielkości: 2532≈21,65\tfrac{25\sqrt3}{2} \approx 21{,}65, czyli mniej niż a2=25a^2 = 25 ✓, ale niewiele mniej — i tak być powinno, bo 120∘120^\circ nie jest daleko od kąta prostego.
  7. Kontrola drugą drogą, przez przekątne: d1=2⋅5⋅cos⁡60∘=5d_1 = 2 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 5 oraz d2=2⋅5⋅sin⁡60∘=53d_2 = 2 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 5\sqrt3. Wtedy P=12⋅5⋅53=2532P = \tfrac12 \cdot 5 \cdot 5\sqrt3 = \tfrac{25\sqrt3}{2} ✓ — ten sam wynik zupełnie innym rachunkiem.

💡 Wskazówka: Zanim sięgniesz po wzór, sprawdź, czy masz bok. Obwód rombu to cztery równe boki, więc dzielisz go przez cztery (w prostokącie obwód podzielony przez dwa daje dopiero sumę dwóch sąsiednich boków). Ten jeden krok jest tu całą różnicą względem zadania, w którym bok podano wprost.

⚠ Odpowiedź BB, czyli 532\tfrac{5\sqrt3}{2} — z pominięcia kwadratu: a⋅sin⁡αa \cdot \sin\alpha zamiast a2sin⁡αa^2 \sin\alpha. Wynik jest pięć razy za mały. Odpowiedź CC, czyli 252\tfrac{25}{2}, odpowiada sinusowi 12\tfrac12, czyli kątowi 30∘30^\circ zamiast 120∘120^\circ. Odpowiedź DD to połowa odpowiedzi poprawnej — powstaje z policzenia pola trójkąta zamiast rombu, czyli z niepotrzebnego podzielenia wyniku przez dwa.

Zadanie 3 (maj 2023)1 pktśrednie

W rombie o boku długości 626\sqrt{2} kąt rozwarty ma miarę 150∘150^\circ.

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy
  • A. 2424
  • B. 7272
  • C. 3636
  • D. 36236\sqrt{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Pytanie nie dotyczy pola, ale najkrótsza droga i tak prowadzi przez pole — bo pole rombu wyraża się przez przekątne wzorem P=12d1d2P = \tfrac12 d_1 d_2. Przekształcając: d1d2=2Pd_1 d_2 = 2P.
  2. Wystarczy więc policzyć pole i podwoić je. Bok i kąt są podane wprost:
  3. P=(62)2⋅sin⁡150∘=72⋅12=36P = \left(\textcolor{#16A06A}{6\sqrt2}\right)^2 \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{150^\circ} = \textcolor{#E0453A}{72} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{36}
  4. d1d2=2⋅36=72d_1 d_2 = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{36} = \textcolor{#E0453A}{72}
  5. Odpowiedź: B.
  6. Zwróć uwagę na rachunek (62)2=36⋅2=72\left(6\sqrt2\right)^2 = 36 \cdot 2 = 72 — kwadratuje się oba czynniki, także pierwiastek.
  7. Kontrola drugą drogą, przez wyliczenie obu przekątnych osobno. Przekątne dzielą kąt 150∘150^\circ na dwa po 75∘75^\circ, więc d1=2acos⁡75∘d_1 = 2a\cos 75^\circ oraz d2=2asin⁡75∘d_2 = 2a\sin 75^\circ. Dla a=62≈8,49a = 6\sqrt2 \approx 8{,}49 daje to d1≈4,39d_1 \approx 4{,}39 i d2≈16,39d_2 \approx 16{,}39, a ich iloczyn ≈71,95\approx 71{,}95 ✓ — czyli 7272 z dokładnością do zaokrągleń.
  8. Ten sam rachunek bez przybliżeń, jednym przekształceniem: d1d2=4a2sin⁡75∘cos⁡75∘=2a2sin⁡150∘=2⋅72⋅12=72d_1 d_2 = 4a^2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ = 2a^2 \sin 150^\circ = 2 \cdot 72 \cdot \tfrac12 = 72 ✓. Widać w nim, dlaczego droga przez pole jest krótsza — jest to dokładnie ten sam rachunek, tylko zapisany od razu w postaci 2P2P.
  9. Najprostsza kontrola: iloczyn przekątnych musi być dwa razy większy od pola. Pole wyszło 3636, iloczyn 7272 ✓.

💡 Wskazówka: Gdy pytanie dotyczy iloczynu przekątnych, nie licz ich osobno — policz pole i pomnóż przez dwa. Odwrotnie też: mając przekątne, dzielisz ich iloczyn przez dwa i masz pole. To jedna zależność używana w obie strony.

⚠ Odpowiedź CC, czyli 3636 — podanie pola zamiast iloczynu przekątnych, czyli zatrzymanie się jeden krok przed końcem. To najczęstszy błąd w tym zadaniu i dlatego liczba 3636 jest wśród odpowiedzi. Odpowiedź DD, czyli 36236\sqrt2, powstaje z niedokończonego kwadratowania boku: (62)2\left(6\sqrt2\right)^2 policzone jako 36236\sqrt2 zamiast 7272.

Zadanie 4 (matura próbna, grudzień 2023)1 pkttrudniejsze

W rombie ABCDABCD dłuższa przekątna ACAC ma długość 1212 i tworzy z bokiem ABAB kąt o mierze 30∘30^\circ.

Pole rombu ABCDABCD jest równe
Romb ABCD z przekatna AC dlugosci 12 tworzaca z bokiem AB kat 30 stopni30°12ABCD
  • A. 2424
  • B. 3636
  • C. 24324\sqrt{3}
  • D. 36236\sqrt{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Tu ani bok, ani kąt rombu nie są podane — trzeba je oba wydobyć z jednej danej i jednego kąta. Klucz jest w tym, że przekątna rombu dzieli jego kąt na połowy.
  2. Skoro ACAC tworzy z bokiem ABAB kąt 30∘\textcolor{#16A06A}{30^\circ}, a jest dwusieczną kąta przy wierzchołku AA, to cały kąt rombu wynosi 60∘\textcolor{#E0453A}{60^\circ}.
  3. Teraz bok. Przekątne rombu są prostopadłe i przecinają się w połowie, więc połowa przekątnej ACAC to 6\textcolor{#E0453A}{6}, a w powstałym trójkącie prostokątnym:
  4. cos⁡30∘=6a⟹a=632=123=43\cos \textcolor{#16A06A}{30^\circ} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{6}}{a} \quad\Longrightarrow\quad a = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{6}}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \dfrac{12}{\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt3}
  5. P=a2sin⁡60∘=(43)2⋅32=48⋅32=243P = a^2 \sin \textcolor{#E0453A}{60^\circ} = \left(\textcolor{#E0453A}{4\sqrt3}\right)^2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = 48 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{24\sqrt3}
  6. Odpowiedź: C.
  7. Kontrola drugą drogą, przez przekątne. Krótsza przekątna to BD=2asin⁡30∘=2⋅43⋅12=43BD = 2a\sin 30^\circ = 2 \cdot 4\sqrt3 \cdot \tfrac12 = 4\sqrt3. Wtedy P=12⋅12⋅43=243P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{12} \cdot 4\sqrt3 = \textcolor{#E0453A}{24\sqrt3} ✓ — ten sam wynik bez liczenia sinusa kąta rombu.
  8. Kontrola, że ACAC naprawdę jest dłuższą przekątną: AC=12AC = 12, a BD=43≈6,93BD = 4\sqrt3 \approx 6{,}93 ✓. Warto ją zrobić, bo gdyby wyszło odwrotnie, znaczyłoby to, że kąt rombu został źle odczytany.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj dwie własności przekątnych rombu i używaj ich razem: dzielą kąty na połowy i są prostopadłe. Pierwsza daje kąt rombu z kąta na rysunku, druga tworzy trójkąt prostokątny, z którego wyliczysz bok. Na końcu sprawdź, czy przekątna nazwana dłuższą naprawdę wyszła dłuższa.

⚠ Odpowiedź AA, czyli 2424 — z przyjęcia, że krótsza przekątna wynosi 44 zamiast 434\sqrt3, czyli z pominięcia pierwiastka przy wyznaczaniu boku. Odpowiedź BB, czyli 3636, powstaje z założenia, że druga przekątna to połowa pierwszej: 12⋅12⋅6\tfrac12 \cdot 12 \cdot 6. Oba błędy dają wynik wymierny, a przy kącie 30∘30^\circ w rachunku musi zostać 3\sqrt3 — sama obecność albo brak pierwiastka jest tu dobrą wskazówką.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A2. A3. B4. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Jak obliczyć pole rombu?

Najczęściej ze wzoru P=d1⋅d22P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}, czyli połowy iloczynu przekątnych. Gdy dane są bok i wysokość, użyj P=a⋅hP = a \cdot h, a gdy bok i kąt — P=a2sin⁡αP = a^2 \sin\alpha. Wybór zależy wyłącznie od tego, co jest w zadaniu.

Dlaczego pole rombu to połowa iloczynu przekątnych?

Bo przekątne rombu są prostopadłe i dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych d12\frac{d_1}{2} i d22\frac{d_2}{2}. Można też patrzeć tak: romb wpisuje się w prostokąt o bokach d1d_1 i d2d_2 i zajmuje dokładnie jego połowę.

Jak obliczyć pole rombu, znając bok i kąt?

Ze wzoru P=a2sin⁡αP = a^2 \sin\alpha. Dla boku 55 i kąta 120∘120^\circ daje to 25⋅32=253225 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2} — i w tej postaci zostawiamy odpowiedź. Nie ma znaczenia, czy weźmiesz kąt ostry, czy rozwarty — ich sinusy są równe.

Jak obliczyć drugą przekątną, znając bok i pierwszą?

Twierdzeniem Pitagorasa w ćwiartce rombu, czyli w jednym z czterech trójkątów prostokątnych, na jakie dzielą go przekątne. Bok rombu jest w nim przeciwprostokątną, a przyprostokątnymi są połówki obu przekątnych, więc a2=(d12)2+(d22)2a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2. Dla boku 1010 i przekątnej 1212 połowa tej przekątnej wynosi 66, a druga przyprostokątna wychodzi 88 — cała druga przekątna ma więc 1616. Pamiętaj o ostatnim kroku: Pitagoras daje połowę przekątnej, którą trzeba jeszcze podwoić.

Czy wzór na pole rombu działa dla kwadratu?

Tak, bo kwadrat jest rombem. Obie jego przekątne są równe, więc wzór daje P=d⋅d2=d22P = \frac{d \cdot d}{2} = \frac{d^2}{2}. To wygodne, gdy zadanie podaje przekątną kwadratu zamiast boku.

Jak obliczyć pole rombu z obwodu?

Sam obwód nie wystarczy — trzeba jeszcze kąta albo wysokości. Obwód daje bok (a=L4a = \frac{L}{4}, bo wszystkie boki rombu są równe), a dopiero bok razem z kątem lub wysokością pozwala policzyć pole.

Co oznaczają e i f we wzorze na pole rombu?

To długości przekątnych rombu. Wzór P=e⋅f:2P = e \cdot f : 2 znaczy: pomnóż jedną przekątną przez drugą i podziel wynik przez 2. W niektórych książkach przekątne oznacza się d1d_{1} i d2d_{2} — to ten sam wzór.

W której klasie jest pole rombu?

W szkole podstawowej — zwykle w klasie 5 albo 6, zależnie od podręcznika, razem z polem równoległoboku i trapezu. Wzór z sinusem (P=a2⋅sin⁡α)(P = a^2 \cdot \sin \alpha{}) pojawia się dopiero w liceum.

Jaki jest wzór na romb?

Wzór na romb to najczęściej wzór na jego pole, a te są trzy: iloczyn boku i wysokości, połowa iloczynu przekątnych albo iloczyn kwadratu boku i sinusa kąta. Wybór zależy wyłącznie od tego, które wielkości podano w zadaniu.

Jak obliczyć pole rombu krok po kroku?

Najprościej z przekątnych: pomnóż obie przekątne i podziel wynik przez dwa. Jeśli znasz bok i wysokość, pomnóż je przez siebie — tak jak w każdym równoległoboku. A gdy dane są bok i kąt, podnieś bok do kwadratu i pomnóż przez sinus tego kąta.

Jaki jest wzór na pole rombu z przekątnych?

Iloczyn obu przekątnych podzielony przez dwa. Bierze się stąd, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne — składają się one na sam romb, a ten mieści się w prostokącie o bokach równych przekątnym i zajmuje dokładnie jego połowę.

Czy pole rombu liczy się tak samo jak pole kwadratu?

Kwadrat jest rombem, więc wszystkie wzory na pole rombu działają też dla niego. W kwadracie obie przekątne są równe, więc wzór z przekątnych sprowadza się do kwadratu przekątnej podzielonego przez dwa. Odwrotnie nie działa: bok razy bok policzy pole tylko kwadratu, nie dowolnego rombu.

Jak obliczyć pole rombu znając tylko bok?

Nie da się — sam bok nie wyznacza rombu jednoznacznie. Ten sam bok mieści zarówno romb prawie płaski, jak i kwadrat, a ich pola są zupełnie różne. Potrzebna jest druga informacja: kąt, wysokość, jedna z przekątnych albo promień okręgu wpisanego.

Czytaj dalej

Pola figurHub działu: wzory na pola wszystkich figur płaskichRomb — własności figuryPrzekątne, symetrie i miejsce wśród czworokątówPole trapezuTen sam problem: wzór łatwy, wysokość trzeba znaleźćTwierdzenie PitagorasaStąd bok z przekątnych i przekątna z bokuKwadratSzczególny romb — i dlatego wolno w nim liczyć pole tak samo
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-08