Strona główna › Geometria płaska › Trapez › Trapez prostokątny

Trapez prostokątny

Trapez prostokątny to trapez, którego jedno ramię jest prostopadłe do podstaw. Ma dwa kąty proste, a to prostopadłe ramię jest od razu wysokością — dlatego w zadaniach liczy się go najłatwiej ze wszystkich trapezów. Kluczowy odcinek to różnica podstaw a−ba - b: razem z wysokością tworzy trójkąt prostokątny z pochyłym ramieniem.

Dział: Geometria płaskaPoziom: klasy 5–8 i liceum

Krótko: dla podstaw a>ba > b i wysokości hh (ramię prostopadłe): P=(a+b)⋅h2P = \tfrac{(a + b) \cdot h}{2}, pochyłe ramię c=h2+(a−b)2c = \sqrt{h^2 + (a - b)^2}, Obw=a+b+h+cObw = a + b + h + c, przekątne b2+h2\sqrt{b^2 + h^2} i a2+h2\sqrt{a^2 + h^2}. Przykład: a=9a = 9, b=5b = 5, h=3h = 3 daje c=5c = 5 i P=21P = 21.

Kalkulator trapezu prostokątnego

1Własności trapezu prostokątnego

Oznaczenia: dłuższa podstawa aa, krótsza podstawa bb, ramię prostopadłe hh (to zarazem wysokość), pochyłe ramię cc, kąt ostry przy dłuższej podstawie α\alpha. Ogólne wiadomości o trapezach są na stronie trapez.

własnośćco to znaczy
dwa kąty prosteoba przy ramieniu prostopadłym do podstaw
pozostałe kątyostry α\alpha i rozwarty 180∘−α180^\circ - \alpha przy pochyłym ramieniu
wysokośćrówna ramieniu prostopadłemu: hh
przekątnemają różne długości
oś symetriibrak

Dla porównania: trapez z równymi ramionami opisujemy na stronie trapez równoramienny.

2Pochyłe ramię i kąt ostry

Opuść wysokość z końca krótszej podstawy. Trapez rozpada się na prostokąt b×hb \times h i trójkąt prostokątny o przyprostokątnych hh oraz a−ba - b. Jego przeciwprostokątną jest pochyłe ramię, więc z twierdzenia Pitagorasa:

Pochyłe ramię

c=h2+(a−b)2c = \sqrt{h^2 + (a - b)^2}

Z tego samego trójkąta: tg⁡α=ha−b\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{h}{a - b}, sin⁡α=hc\sin\alpha = \dfrac{h}{c}. Gdy znasz kąt i ramię cc, wysokość to h=c⋅sin⁡αh = c \cdot \sin\alpha.

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury na płaszczyźnie” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Figury na płaszczyźnie — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Figury na płaszczyźnie”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł35,10 zł−19,20 złCała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Pole, obwód i przekątne

wielkośćwzórskąd
poleP=(a+b)⋅h2P = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2}jak każdy trapez
obwódObw=a+b+h+cObw = a + b + h + ccztery różne boki
krótsza przekątnab2+h2\sqrt{b^2 + h^2}trójkąt prostokątny przy krótszej podstawie
dłuższa przekątnaa2+h2\sqrt{a^2 + h^2}trójkąt prostokątny przy dłuższej podstawie

Więcej o polu, także gdy dane są kąty: pole trapezu.

4Okrąg wpisany i opisany

5Przykłady krok po kroku

Przykład 11 Ramię, pole i przekątne

Podstawy trapezu prostokątnego mają 99 cm i 55 cm, a wysokość 33 cm. Oblicz pochyłe ramię, pole, obwód i przekątne.

  1. a−b=4a - b = 4 cm, więc c=32+42=5c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 cm.
  2. P=(9+5)⋅32=21P = \tfrac{(9 + 5) \cdot 3}{2} = 21 cm², Obw=9+5+3+5=22Obw = 9 + 5 + 3 + 5 = 22 cm.
  3. Krótsza przekątna: 52+32=34\sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} cm, dłuższa: 92+32=90=310\sqrt{9^2 + 3^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} cm.

Odpowiedź: c=5c = 5 cm, P=21P = 21 cm², Obw=22Obw = 22 cm, przekątne 34\sqrt{34} cm i 3103\sqrt{10} cm.

Przykład 22 Kąt 45∘45^\circ

Podstawy trapezu prostokątnego mają 1010 cm i 66 cm, a kąt ostry ma 45∘45^\circ. Oblicz wysokość, ramię i pole.

  1. a−b=4a - b = 4 cm. Przy kącie 45∘45^\circ trójkąt jest równoramienny, więc h=4h = 4 cm.
  2. c=42c = 4\sqrt{2} cm (przekątna kwadratu o boku 44).
  3. P=(10+6)⋅42=32P = \tfrac{(10 + 6) \cdot 4}{2} = 32 cm².

Odpowiedź: h=4h = 4 cm, c=42c = 4\sqrt{2} cm, P=32P = 32 cm².

Przykład 33 Wysokość z pola

Pole trapezu prostokątnego wynosi 3838 cm², a podstawy mają 1111 cm i 88 cm. Oblicz wysokość i pochyłe ramię.

  1. h=2Pa+b=7619=4h = \tfrac{2P}{a + b} = \tfrac{76}{19} = 4 cm.
  2. a−b=3a - b = 3 cm, więc c=42+32=5c = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 cm.

Odpowiedź: h=4h = 4 cm, c=5c = 5 cm.

Przykład 44 Okrąg wpisany

Podstawy trapezu prostokątnego mają 66 cm i 33 cm, a wysokość 44 cm. Czy można w niego wpisać okrąg? Jeśli tak, oblicz promień.

  1. c=42+32=5c = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 cm.
  2. a+b=9a + b = 9 i h+c=9h + c = 9 — warunek spełniony.
  3. r=h2=2r = \tfrac{h}{2} = 2 cm.

Odpowiedź: tak, r=2r = 2 cm.

6Najczęstsze błędy

Pochyłe ramię jako wysokość.

Skąd się bierze: Oba ramiona nazywa się tak samo, a rysunek bywa niedokładny.

Jak zrobić dobrze: Wysokością jest tylko ramię prostopadłe do podstaw. Pochyłe zawsze jest od niego dłuższe.

a−b2\tfrac{a - b}{2} jak w trapezie równoramiennym.

Skąd się bierze: Przeniesienie wzoru z trapezu, w którym różnica podstaw dzieli się na dwa trójkąty.

Jak zrobić dobrze: Tu jest tylko jeden trójkąt boczny — jego przyprostokątna to całe a−ba - b.

Równe przekątne.

Skąd się bierze: Pomylenie z trapezem równoramiennym.

Jak zrobić dobrze: Przekątne trapezu prostokątnego są różne: b2+h2\sqrt{b^2 + h^2} i a2+h2\sqrt{a^2 + h^2}.

Pole bez dzielenia przez 2.

Skąd się bierze: Kąty proste kojarzą się z prostokątem.

Jak zrobić dobrze: P=(a+b)⋅h2P = \tfrac{(a + b) \cdot h}{2} — średnia podstaw razy wysokość.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest trapez prostokątny?

To trapez, którego jedno ramię jest prostopadłe do podstaw. Ma dwa kąty proste przy tym ramieniu.

Ile kątów prostych ma trapez prostokątny?

Dwa — oba przy ramieniu prostopadłym do podstaw. Pozostałe dwa kąty to kąt ostry i rozwarty, które sumują się do 180°.

Jak obliczyć wysokość trapezu prostokątnego?

Wysokość jest równa ramieniu prostopadłemu do podstaw. Jeśli dane jest drugie, pochyłe ramię c, to h = √(c² − (a − b)²).

Jak obliczyć pole trapezu prostokątnego?

Tak jak każdego trapezu: P = (a + b) · h : 2, gdzie h to ramię prostopadłe do podstaw.

Jak obliczyć przekątne trapezu prostokątnego?

Przekątne mają różne długości: krótsza √(b² + h²), dłuższa √(a² + h²), gdzie a i b to podstawy, a h wysokość.

Jak obliczyć pochyłe ramię trapezu prostokątnego?

Z twierdzenia Pitagorasa: c = √(h² + (a − b)²), bo pochyłe ramię jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych h i a − b.

Czy w trapez prostokątny można wpisać okrąg?

Tylko wtedy, gdy suma podstaw jest równa sumie ramion: a + b = h + c. Promień okręgu wpisanego to wtedy połowa wysokości. Okręgu opisanego na trapezie prostokątnym nie da się narysować.

Czytaj dalej

TrapezDefinicja, rodzaje trapezów i kąty.Trapez równoramiennyOś symetrii, równe przekątne, kalkulator.Pole trapezuWzór, wyprowadzenie i zadania.Twierdzenie PitagorasaPodstawa wzoru na pochyłe ramię.
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-25. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-07