Strona główna › Geometria płaska › Trapez › Trapez równoramienny

Trapez równoramienny

Q: Co to jest trapez równoramienny?

To trapez, którego ramiona (boki nierównoległe) mają równą długość. Ma oś symetrii przechodzącą przez środki obu podstaw.

Q: Jakie własności ma trapez równoramienny?

Kąty przy każdej podstawie są równe, przekątne mają równą długość, ma oś symetrii, a na trapezie równoramiennym zawsze można opisać okrąg. Kąty przy tym samym ramieniu sumują się do 180°.

Q: Jak obliczyć wysokość trapezu równoramiennego?

Spodek wysokości odcina na dłuższej podstawie odcinek (a − b) : 2. Z twierdzenia Pitagorasa h = √(c² − ((a − b) : 2)²), gdzie c to ramię.

Q: Jak obliczyć pole trapezu równoramiennego?

Tak jak każdego trapezu: P = (a + b) · h : 2. Wysokość h liczy się z ramienia i różnicy podstaw.

Q: Czy przekątne trapezu równoramiennego są równe?

Tak. W trapezie równoramiennym obie przekątne mają tę samą długość d = √(h² + ((a + b) : 2)²).

Q: Kiedy w trapez równoramienny można wpisać okrąg?

Gdy suma podstaw jest równa sumie ramion, czyli a + b = 2c. Wtedy promień okręgu wpisanego to połowa wysokości.

Q: Czy na trapezie równoramiennym można opisać okrąg?

Tak, zawsze. Kąty przeciwległe trapezu równoramiennego sumują się do 180°, więc da się na nim opisać okrąg.

Trapez równoramienny to trapez, którego ramiona mają równą długość (i nie są równoległe). Ma oś symetrii przechodzącą przez środki obu podstaw — i z niej wynika cała reszta: równe kąty przy podstawie, równe przekątne i prosty wzór na wysokość. Kluczowy odcinek to $\dfrac{a - b}{2}$ : tyle odcina spodek wysokości na dłuższej podstawie.

Dział: Geometria płaskaPoziom: klasy 5–8 i liceum

Krótko: dla podstaw $a > b$ i ramienia $c$ : $h = \sqrt{c^2 - \left(\tfrac{a - b}{2}\right)^2}$ , $P = \tfrac{(a + b) \cdot h}{2}$ , $Obw = a + b + 2c$ , przekątna $d = \sqrt{h^2 + \left(\tfrac{a + b}{2}\right)^2}$ . Przykład: $a = 10$ , $b = 4$ , $c = 5$ daje $h = 4$ i $P = 28$ .

Kalkulator trapezu równoramiennego

1Własności trapezu równoramiennego

Oznaczenia: dłuższa podstawa $a$ , krótsza podstawa $b$ , ramiona $c$ , wysokość $h$ , kąt ostry przy dłuższej podstawie $\alpha$ . Ogólne wiadomości o trapezach i ich rodzajach są na stronie trapez.

własność	co to znaczy
oś symetrii	prosta przez środki obu podstaw dzieli trapez na dwie przystające połowy
kąty przy podstawie	oba kąty przy dłuższej podstawie są równe ( $\alpha$ ), oba przy krótszej też ( $180^\circ - \alpha$ )
kąty przy ramieniu	sumują się do $180^\circ$ , jak w każdym trapezie
przekątne	mają równą długość i przecinają się na osi symetrii
okrąg opisany	zawsze istnieje

Trapez równoramienny ma te same własności co trójkąt równoramienny — i nie przypadkiem: po przedłużeniu ramion trapez staje się częścią takiego trójkąta.

2Wysokość — klucz do wszystkich wzorów

Opuść wysokości z obu końców krótszej podstawy. Środek trapezu to prostokąt $b \times h$ , a po bokach zostają dwa przystające trójkąty prostokątne. Każdy z nich ma przyprostokątne $h$ i $x$ , gdzie

Odcinek odcięty przez wysokość

$x = \dfrac{a - b}{2}$

a przeciwprostokątną jest ramię $c$ . Z twierdzenia Pitagorasa:

Wzór na wysokość

$h = \sqrt{c^2 - \left(\dfrac{a - b}{2}\right)^2}$

Ten sam trójkąt daje kąt ostry: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{h}{x}$ , $\cos\alpha = \dfrac{x}{c}$ .

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Figury na płaszczyźnie” (klasa 7), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Figury na płaszczyźnie — cały dział, klasa 7 (9 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Figury na płaszczyźnie”9 arkuszy w jednym pliku15,90 zł~~35,10 zł~~−19,20 zł Cała klasa 7, na cały rok60 arkuszy, 1,50 zł za arkusz89,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 15,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Pole, obwód i przekątna

wielkość	wzór	skąd
pole	$P = \dfrac{(a + b) \cdot h}{2}$	jak każdy trapez
obwód	$Obw = a + b + 2c$	dwa równe ramiona
przekątna	$d = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{a + b}{2}\right)^2}$	rzut przekątnej na podstawę ma długość $a - x = \tfrac{a + b}{2}$

Więcej o polu, także gdy dane są kąty lub przekątne: pole trapezu.

4Okrąg opisany i wpisany

Okrąg opisany istnieje na każdym trapezie równoramiennym, bo jego kąty przeciwległe sumują się do $180^\circ$ .
Okrąg wpisany istnieje tylko wtedy, gdy suma podstaw jest równa sumie ramion: $a + b = 2c$ . Wtedy promień okręgu wpisanego to połowa wysokości: $r = \dfrac{h}{2}$ .

5Przykłady krok po kroku

Przykład $1$ Wysokość, pole i przekątna

Podstawy trapezu równoramiennego mają $10$ cm i $4$ cm, a ramię $5$ cm. Oblicz wysokość, pole, obwód i przekątną.

$x = \tfrac{10 - 4}{2} = 3$ cm.
$h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$ cm.
$P = \tfrac{(10 + 4) \cdot 4}{2} = 28$ cm², $Obw = 10 + 4 + 2 \cdot 5 = 24$ cm.
$d = \sqrt{4^2 + 7^2} = \sqrt{65} \approx 8{,}06$ cm.

Odpowiedź: $h = 4$ cm, $P = 28$ cm², $Obw = 24$ cm, $d = \sqrt{65}$ cm.

Przykład $2$ Kąt $60^\circ$ przy podstawie

Podstawy trapezu równoramiennego mają $12$ cm i $6$ cm, a kąt ostry ma $60^\circ$ . Oblicz ramię i pole.

$x = \tfrac{12 - 6}{2} = 3$ cm.
$c = \tfrac{x}{\cos 60^\circ} = \tfrac{3}{\tfrac{1}{2}} = 6$ cm.
$h = x \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = 3\sqrt{3}$ cm.
$P = \tfrac{(12 + 6) \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 27\sqrt{3}$ cm².

Odpowiedź: $c = 6$ cm, $P = 27\sqrt{3} \approx 46{,}77$ cm².

Przykład $3$ Wysokość z pola

Pole trapezu równoramiennego wynosi $32$ cm², a podstawy mają $11$ cm i $5$ cm. Oblicz wysokość i ramię.

$h = \tfrac{2P}{a + b} = \tfrac{64}{16} = 4$ cm.
$x = \tfrac{11 - 5}{2} = 3$ cm.
$c = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ cm.

Odpowiedź: $h = 4$ cm, $c = 5$ cm.

Przykład $4$ Okrąg wpisany

W trapez równoramienny o podstawach $8$ cm i $2$ cm wpisano okrąg. Oblicz ramię i promień okręgu.

Warunek okręgu wpisanego: $2c = 8 + 2$ , więc $c = 5$ cm.
$x = \tfrac{8 - 2}{2} = 3$ cm, $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ cm.
$r = \tfrac{h}{2} = 2$ cm.

Odpowiedź: $c = 5$ cm, $r = 2$ cm.

6Najczęstsze błędy

Odcinek $a - b$ zamiast $\tfrac{a - b}{2}$ .

Skąd się bierze: Zapomina się, że różnica podstaw dzieli się na dwa trójkąty po bokach.

Jak zrobić dobrze: Każdy boczny trójkąt ma przyprostokątną $\tfrac{a - b}{2}$ — narysuj obie wysokości.

Ramię jako wysokość.

Skąd się bierze: Przeniesienie z trapezu prostokątnego, gdzie jedno ramię jest wysokością.

Jak zrobić dobrze: W trapezie równoramiennym ramię jest pochyłe i zawsze dłuższe od wysokości: $h < c$ .

Okrąg wpisany w każdy trapez równoramienny.

Skąd się bierze: Pomylenie z okręgiem opisanym, który istnieje zawsze.

Jak zrobić dobrze: Wpisany tylko przy $a + b = 2c$ ; opisany — zawsze.

Pole bez dzielenia przez 2.

Skąd się bierze: Mnożenie sumy podstaw przez wysokość jak w prostokącie.

Jak zrobić dobrze: $P = \tfrac{(a + b) \cdot h}{2}$ — średnia podstaw razy wysokość.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Pole trapezu — kartkówka, klasa 6

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Pole trapezu i pola wielokątów — kartkówka, klasa 5

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Trapezy — kartkówka, klasa 5

Arkusze ucznia, zadania do zeszytu i osobne klucze nauczyciela.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

7Pytania i odpowiedzi

Co to jest trapez równoramienny?

To trapez, którego ramiona (boki nierównoległe) mają równą długość. Ma oś symetrii przechodzącą przez środki obu podstaw.

Jakie własności ma trapez równoramienny?

Kąty przy każdej podstawie są równe, przekątne mają równą długość, ma oś symetrii, a na trapezie równoramiennym zawsze można opisać okrąg. Kąty przy tym samym ramieniu sumują się do 180°.

Jak obliczyć wysokość trapezu równoramiennego?

Spodek wysokości odcina na dłuższej podstawie odcinek (a − b) : 2. Z twierdzenia Pitagorasa h = √(c² − ((a − b) : 2)²), gdzie c to ramię.

Jak obliczyć pole trapezu równoramiennego?

Tak jak każdego trapezu: P = (a + b) · h : 2. Wysokość h liczy się z ramienia i różnicy podstaw.

Czy przekątne trapezu równoramiennego są równe?

Tak. W trapezie równoramiennym obie przekątne mają tę samą długość d = √(h² + ((a + b) : 2)²).

Kiedy w trapez równoramienny można wpisać okrąg?

Gdy suma podstaw jest równa sumie ramion, czyli a + b = 2c. Wtedy promień okręgu wpisanego to połowa wysokości.

Czy na trapezie równoramiennym można opisać okrąg?

Tak, zawsze. Kąty przeciwległe trapezu równoramiennego sumują się do 180°, więc da się na nim opisać okrąg.

Czytaj dalej

Trapez prostokątnyDwa kąty proste, ramię jako wysokość.TrapezDefinicja, rodzaje trapezów i kąty.Pole trapezuWzór, wyprowadzenie i zadania.Trójkąt równoramiennyTe same własności w trójkącie.Twierdzenie PitagorasaPodstawa wzoru na wysokość.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-25. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Trapez równoramienny

1Własności trapezu równoramiennego

2Wysokość — klucz do wszystkich wzorów

3Pole, obwód i przekątna

4Okrąg opisany i wpisany

5Przykłady krok po kroku

6Najczęstsze błędy

Sprawdź się na kartce

Pole trapezu — kartkówka, klasa 6

Pole trapezu i pola wielokątów — kartkówka, klasa 5

Trapezy — kartkówka, klasa 5

7Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku