Strona główna › Funkcja kwadratowa › Delta — wzór na deltę
Delta — wzór na deltę
Delta (Δ) równania kwadratowego ax² + bx + c = 0 to liczba Δ = b² − 4ac. Jej znak rozstrzyga, ile rozwiązań ma równanie: dwa (Δ > 0), jedno (Δ = 0) albo żadnego w liczbach rzeczywistych (Δ < 0).
Krótko: Δ = b² − 4ac. Gdy Δ > 0: x₁ = −b − √Δ2a, x₂ = −b + √Δ2a. Gdy Δ = 0: x₀ = −b2a. Gdy Δ < 0: brak rozwiązań rzeczywistych.
1Wzór na deltę i znaczenie jej znaku
Współczynniki a, b, c odczytujemy z równania w postaci ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), razem ze znakami. Po obliczeniu delty patrzymy na jej znak:
| delta | liczba rozwiązań | wzór na pierwiastki |
|---|---|---|
| Δ > 0 | dwa różne | x₁ = −b − √Δ2a, x₂ = −b + √Δ2a |
| Δ = 0 | jedno (podwójne) | x₀ = −b2a |
| Δ < 0 | brak rozwiązań rzeczywistych | — |
2Jak obliczyć deltę krok po kroku
- Zapisz równanie w postaci ax² + bx + c = 0 i odczytaj a, b, c (ze znakami).
- Oblicz Δ = b² − 4ac; pamiętaj, że przy ujemnym c wyraz −4ac jest dodatni.
- Sprawdź znak Δ.
- Jeśli Δ ≥ 0, podstaw do wzorów na pierwiastki.
3Kiedy delty nie trzeba liczyć
Dla równań niezupełnych liczenie delty jest stratą czasu: ax² + c = 0 rozwiązujesz przez przeniesienie (x² = −ca), a ax² + bx = 0 przez wyłączenie x przed nawias: x(ax + b) = 0.
4Przykłady krok po kroku
Przykład 1 Dwa rozwiązania
Rozwiąż równanie x² − 5x + 6 = 0.
- a = 1, b = −5, c = 6.
- Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1, więc Δ > 0.
- x₁ = 5 − 12 = 2, x₂ = 5 + 12 = 3.
Odpowiedź: x = 2 lub x = 3
Przykład 2 Jedno rozwiązanie
Rozwiąż równanie x² − 4x + 4 = 0.
- a = 1, b = −4, c = 4.
- Δ = 16 − 16 = 0.
- x₀ = −b2a = 42 = 2.
Odpowiedź: x = 2
Przykład 3 Brak rozwiązań
Rozwiąż równanie x² + x + 1 = 0.
- a = 1, b = 1, c = 1.
- Δ = 1 − 4 = −3 < 0.
Odpowiedź: brak rozwiązań rzeczywistych
Przykład 4 Współczynnik a różny od 1
Rozwiąż równanie 2x² + 3x − 2 = 0.
- a = 2, b = 3, c = −2.
- Δ = 9 − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25, więc √Δ = 5.
- x₁ = −3 − 54 = −2, x₂ = −3 + 54 = 12.
Odpowiedź: x = −2 lub x = 12
5Najczęstsze błędy
Zły znak przy −b
Skąd się bierze: Dla b = −5 wzór −b daje +5, a łatwo napisać −5.
Jak zrobić dobrze: Podstawiaj liczbę b w nawiasie: −(−5) = 5.
Zapomniane 4 albo 2a
Skąd się bierze: Zapisanie Δ = b² − ac albo mianownika a zamiast 2a.
Jak zrobić dobrze: Δ = b² − 4ac; w mianowniku wzoru na pierwiastki jest 2a.
Ujemne c w delcie
Skąd się bierze: Wyraz −4ac przy c < 0 wydaje się ujemny.
Jak zrobić dobrze: Przy ujemnym c iloczyn −4ac jest dodatni: delta rośnie.
6Mini-quiz: sprawdź się
Pięć pytań. Kliknij odpowiedź — od razu zobaczysz, czy jest dobra, i krótkie wyjaśnienie.
1. Ile wynosi Δ dla x² − 6x + 5 = 0?
36 − 20 = 16.
2. Ile rozwiązań ma równanie x² + 2x + 1 = 0?
Δ = 4 − 4 = 0, więc jedno.
3. Równanie 3x² + x + 2 = 0 ma:
Δ = 1 − 24 = −23 < 0.
4. Pierwiastki równania x² − 5x + 6 = 0 to:
Δ = 1, x = 5 ± 12.
5. Δ > 0 oznacza, że równanie kwadratowe ma:
Dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Funkcja kwadratowa” (liceum, klasa 2), gotowy do druku
Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.
7Pytania i odpowiedzi
Jaki jest wzór na deltę?
Δ = b² − 4ac dla równania ax² + bx + c = 0.
Co oznacza delta ujemna?
Że równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.
Jak obliczyć pierwiastki równania kwadratowego?
Gdy Δ > 0: x₁ = −b − √Δ2a i x₂ = −b + √Δ2a; gdy Δ = 0: x₀ = −b2a.
Czy delta może być równa zero?
Tak, wtedy równanie ma jedno (podwójne) rozwiązanie, a parabola dotyka osi x w jednym punkcie.
Czytaj dalej
Mateusz Będkowski
nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”
Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.
Ostatnia aktualizacja: 2026-11-08. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.
