Mnożenie ułamków zwykłych

Odpowiedź: C

1. Uwaga na pytanie — zadanie pyta o połowę trasy, a nie o całą trasę. Najpierw jednak musimy znaleźć całość.
2. Najprościej „przez jedną trzecią”: skoro $\textcolor{#16A06A}{\tfrac{2}{3}}$ trasy to 12 km, to $\tfrac13$ trasy to $12 : 2 = 6$ km.
3. Cała trasa ($\tfrac33$) to $3 \cdot 6 = 18$ km.
4. Połowa trasy: $18 : 2 = 9$ km.
5. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Metoda „na jedną część” działa zawsze: podziel przez licznik, pomnóż przez mianownik. Tu $12 : 2 \cdot 3 = 18$.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na całej trasie (18 km) albo podanie $\tfrac13$ trasy (6 km — kusząca odpowiedź A). Zawsze wróć na koniec do pytania.

Odpowiedź: A, C

1. Liczba $x$ — mnożymy ułamki: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. $\dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{16}{15}$.
2. Liczba $y$ — dodajemy, więc potrzebny wspólny mianownik 15: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}}$ (razy 3), a $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}}$ (razy 5).
3. $y = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}} = -\dfrac{8}{15}$ — liczba ujemna, odpowiedź A.
4. Porównujemy $x = -\dfrac{16}{15}$ z $y = -\dfrac{8}{15}$. Mianowniki są takie same, więc patrzymy na liczniki.
5. Przy liczbach ujemnych większy licznik oznacza mniejszą liczbę: $-\dfrac{16}{15} < -\dfrac{8}{15}$.
6. Zatem $x$ jest mniejsza od $y$ — odpowiedź C. Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Przydatna obserwacja: mnożąc ułamek przez liczbę większą od 1 (a $\tfrac43 > 1$), oddalamy się od zera. Dlatego $x$ leży dalej w lewo niż $y$.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie liczb ujemnych „jak dodatnich” — czyli uznanie, że skoro $16 > 8$, to $-\tfrac{16}{15} > -\tfrac{8}{15}$. Na osi liczbowej jest odwrotnie.

Odpowiedź: C

1. Szukamy wartości $-10\tfrac12 = -10{,}5$. Sprawdzamy po kolei.
2. I. $-16{,}55 + 6{,}05 = -10{,}5$ ✓
3. II. $-5\tfrac34 = -5{,}75$, więc $-5{,}75 - 4{,}75 = -10{,}5$ ✓
4. III. $-15\tfrac14 = -\dfrac{61}{4}$, zatem $\dfrac{2}{3} \cdot \left(-\dfrac{61}{4}\right) = -\dfrac{122}{12} = -\dfrac{61}{6} = -10\dfrac{1}{6}$ ✗
5. IV. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność: $(-1{,}5) : \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{7}} = (-1{,}5) \cdot \textcolor{#16A06A}{7} = -10{,}5$ ✓
6. Jedyne wyrażenie o innej wartości to III — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz III dokładnie, oszacuj: $\tfrac23$ z 15 to 10, a z $15\tfrac14$ trochę więcej — czyli około $10{,}17$, nie $10{,}5$. Szacowanie oszczędza czas.

⚠ Uwaga na wyrażenie IV: dzielenie przez $\tfrac17$ zwiększa liczbę siedmiokrotnie. Częsty błąd to potraktowanie tego jak dzielenia przez 7 i otrzymanie $-0{,}214$.

Odpowiedź: A

1. I. Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $1\dfrac23 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{3}}$.
2. $6 \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{3}} = \dfrac{30}{3} = 10$ — liczba całkowita ✓
3. II. $6 : 1{,}2$ — mnożymy obie liczby przez 10, żeby pozbyć się przecinka: $60 : 12 = 5$ — całkowita ✓
4. III. $2\dfrac14 = 2{,}25$, więc $7{,}25 - 2{,}25 = 5$ — całkowita ✓
5. Wszystkie trzy dają liczby całkowite — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Przy dzieleniu przez liczbę z przecinkiem pomnóż obie liczby przez 10 (albo 100). Wynik dzielenia się nie zmieni, a rachunek robi się dużo prostszy.

⚠ Częsty błąd w I: pomnożenie 6 tylko przez część całkowitą ($6 \cdot 1 = 6$) i osobne dodanie $\tfrac23$. Liczbę mieszaną trzeba najpierw zamienić na ułamek niewłaściwy.

Odpowiedź: D

1. Kolejność działań: najpierw mnożenie, dopiero potem odejmowanie.
2. $\dfrac{2}{7} \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{6}{14} = -\dfrac{3}{7}$ (skracamy przez 2).
3. Wstawiamy do wyrażenia: $\dfrac{5}{7} - \left(-\dfrac{3}{7}\right)$.
4. Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie: $\dfrac{5}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{8}{7}$.
5. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Skracaj przed mnożeniem: w $\tfrac{2}{7} \cdot \tfrac{3}{2}$ dwójki się skracają, zostaje od razu $\tfrac37$ — bez liczenia $\tfrac{6}{14}$.

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie podwójnego minusa i wykonanie odejmowania ($\tfrac57 - \tfrac37 = \tfrac27$ — kusząca odpowiedź C). „Minus razy minus daje plus” działa też przy odejmowaniu liczby ujemnej.

Odpowiedź: B

1. Najpierw potęga: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
2. Potem mnożenie: $\dfrac{4}{3} \cdot 3 = \dfrac{12}{3} = 4$ (trójki się skracają).
3. Na końcu odejmowanie: $4 - 8 = -4$.
4. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Mnożenie ułamka przez jego mianownik zawsze „zjada” mianownik — zostaje sam licznik. Stąd $\tfrac43 \cdot 3 = 4$ bez żadnych rachunków.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $2^3$ jako $2 \cdot 3 = 6$ (wyszłoby $-2$) albo pomnożenie tylko licznika i mianownika przez 3.

Odpowiedź: 96 zł

1. Koszulka — $\dfrac{1}{5}$ z 300 zł: $300 : 5 = 60$ zł.
2. Po tym zakupie zostało mu: $300 - 60 = \textcolor{#16A06A}{240}$ zł.
3. Torba — uwaga na kluczowe słowa: $\dfrac{3}{5}$ liczymy nie z 300 zł, tylko z tego, co zostało, czyli z $\textcolor{#16A06A}{240}$ zł.
4. $\dfrac{3}{5}$ z $\textcolor{#16A06A}{240}$ zł: $240 : 5 = 48$, więc $3 \cdot 48 = 144$ zł.
5. Zostało: $\textcolor{#16A06A}{240} - 144 = 96$ zł.
6. Odpowiedź: Kamilowi zostało 96 zł.
7. Szybsza droga: skoro na torbę poszło $\tfrac35$ reszty, to zostało mu $\tfrac25$ reszty, czyli $\tfrac25 \cdot \textcolor{#16A06A}{240} = 96$ zł ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na to, od czego liczymy ułamek. Tutaj podstawa zmienia się w trakcie zadania: najpierw 300 zł, potem 240 zł.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $\tfrac35$ z 300 zł (czyli 180 zł) zamiast z reszty. Wtedy wyszłoby, że Kamilowi zostało 60 zł — i całe zadanie na zero punktów.