Strona główna › Ułamki › Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Dodawanie ułamków ma jedną zasadę i jeden warunek. Zasada: dodajemy liczniki, mianownik zostaje bez zmian. Warunek: mianowniki muszą być takie same. Cała trudność, o którą rozbija się połowa klasy, siedzi w tym drugim zdaniu — i o niej jest większość tej strony.

Dział: UłamkiPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 6

Krótko: Ułamki o takich samych mianownikach dodajemy, dodając liczniki: 2/7 + 3/7 = 5/7. Gdy mianowniki są różne, najpierw sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

Przejdź od razu do zadań (6) ↓

Kalkulator ułamków zwykłych krok po kroku

Liczba całości jest opcjonalna — wpisz ją dla liczby mieszanej.

1Dlaczego mianowniki muszą być równe

Mianownik mówi, na ile równych części podzieliliśmy całość. Licznik mówi, ile takich części bierzemy. To rozróżnienie jest kluczem do wszystkiego, co niżej.

Wyobraź sobie tabliczkę czekolady podzieloną na osiem kostek. Jedna kostka to 18\frac{1}{8} tabliczki. Jeśli zjesz trzy kostki, a potem jeszcze jedną — zjadłeś cztery kostki z ośmiu, czyli 48\frac{4}{8}, a nie „cztery szesnaste”. Liczba kostek się zmieniła, ale wielkość jednej kostki nie. Dlatego mianownik zostaje.

Reguła w jednym zdaniu

Ułamki o tym samym mianowniku dodajemy i odejmujemy, licząc same liczniki:

ac+bc=a+bc\frac{\textcolor{#E0453A}{a}}{\textcolor{#16A06A}{c}} + \frac{\textcolor{#2F80D8}{b}}{\textcolor{#16A06A}{c}} = \frac{\textcolor{#E0453A}{a}+\textcolor{#2F80D8}{b}}{\textcolor{#16A06A}{c}}

Zielony mianownik jest w każdym miejscu ten sam — przepisujemy go bez zmian. Kolorowe liczniki to jedyne liczby, które biorą udział w rachunku.

A jeśli mianowniki są różne? Nie dodajemy wtedy od razu liczników, bo ósme i trzecie części tej samej całości mają różną wielkość. Najpierw sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika: zapisujemy je jako części o jednakowej wielkości, a dopiero potem dodajemy liczniki.

2Ten sam mianownik — najprostszy przypadek

Tu nie ma czego wymyślać. Liczniki dodajemy albo odejmujemy, mianownik przepisujemy:

38+18=3+18=48=12\frac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{8}} + \frac{\textcolor{#2F80D8}{1}}{\textcolor{#16A06A}{8}} = \frac{\textcolor{#E0453A}{3}+\textcolor{#2F80D8}{1}}{\textcolor{#16A06A}{8}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

Ostatni krok to skrócenie. Wynik 48\frac{4}{8} nie jest błędny, ale na sprawdzianie prawie zawsze wymaga się postaci nieskracalnej — czyli takiej, w której licznika i mianownika nie da się już podzielić przez tę samą liczbę.

Przy odejmowaniu działa to identycznie:

710−310=7−310=410=25\frac{\textcolor{#E0453A}{7}}{\textcolor{#16A06A}{10}} - \frac{\textcolor{#2F80D8}{3}}{\textcolor{#16A06A}{10}} = \frac{\textcolor{#E0453A}{7}-\textcolor{#2F80D8}{3}}{\textcolor{#16A06A}{10}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

Zwróć uwagę, że mianownik nigdy nie bierze udziału w dodawaniu. To jedyna informacja, którą trzeba zapamiętać w tym przypadku — i to na nią przypada najczęstszy błąd na świecie, opisany niżej.

Dodawanie ułamków o tym samym mianowniku na tabliczce czekolady: trzy ósme plus jedna ósma to cztery ósme, czyli jedna druga; odejmowanie siedem dziewiątych minus cztery dziewiąte to jedna trzecia; błąd dodawania mianowników
Ten sam mianownik — dodajesz liczniki, mianownik przepisujesz
Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Ułamki zwykłe” (klasa 5), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Ułamki zwykłe — cały dział, klasa 5 (15 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Ułamki zwykłe”15 arkuszy w jednym pliku22,90 zł58,50 zł−35,60 złCała klasa 5, na cały rok84 arkuszy, 1,31 zł za arkusz109,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 22,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Różne mianowniki — wspólny mianownik krok po kroku

Gdy mianowniki są różne, trzeba je najpierw zrównać. Robimy to przez rozszerzanie: mnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Ułamek nie zmienia wtedy wartości, zmienia tylko zapis — tak jak pół tabliczki to jednocześnie cztery kostki z ośmiu.

  1. znajdź wspólny mianownik — najlepiej najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) obu mianowników,
  2. rozszerz każdy ułamek do tego mianownika (licznik i mianownik mnożysz przez tę samą liczbę),
  3. dodaj albo odejmij liczniki,
  4. skróć wynik i, jeśli wyszedł ułamek niewłaściwy, wyłącz całości.

Przykład na 23+14\frac{2}{3} + \frac{1}{4}: mianowniki to 33 i 44, więc wspólny mianownik to 1212. Pierwszy ułamek rozszerzamy razy 44, drugi razy 33:

23+14=812+312=8+312=1112\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{\textcolor{#E0453A}{8}}{\textcolor{#16A06A}{12}} + \frac{\textcolor{#2F80D8}{3}}{\textcolor{#16A06A}{12}} = \frac{\textcolor{#E0453A}{8}+\textcolor{#2F80D8}{3}}{\textcolor{#16A06A}{12}} = \frac{11}{12}

Wspólnym mianownikiem może być każda wspólna wielokrotność, więc iloczyn mianowników zawsze zadziała — przy NWW liczby są tylko mniejsze i rzadziej trzeba skracać na końcu. Jak go szukać w trudniejszych przypadkach, co zrobić przy trzech ułamkach i czym NWW różni się od NWD, opisuję osobno: sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

Gdy jeden mianownik dzieli się przez drugi, sprawa jest jeszcze prostsza — wystarczy rozszerzyć jeden ułamek: 56−13=56−26=36=12\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach: jedna druga plus jedna trzecia; wspólny mianownik NWW(2, 3) = 6, rozszerzanie do trzech szóstych i dwóch szóstych, wynik pięć szóstych; paski pokazują podział na szóste części
Różne mianowniki — sprowadzanie do wspólnego mianownika krok po kroku

4Liczby mieszane i pożyczanie całości

Liczba mieszana to całości i ułamek zapisane obok siebie, na przykład 2352\frac{3}{5}. Przy dodawaniu można je potraktować na dwa sposoby i oba są dobre.

Kłopot pojawia się przy odejmowaniu, gdy ułamek u góry jest mniejszy od tego u dołu — na przykład 514−2345\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4}. Nie da się odjąć 34\frac{3}{4} od 14\frac{1}{4}, więc trzeba pożyczyć jedną całość:

514=4+1+14=4+44+14=4545\tfrac{1}{4} = 4 + 1 + \tfrac{1}{4} = 4 + \tfrac{4}{4} + \tfrac{1}{4} = 4\tfrac{5}{4}

Teraz odejmowanie jest zwyczajne: 454−234=224=2124\frac{5}{4} - 2\frac{3}{4} = 2\frac{2}{4} = 2\frac{1}{2}.

Ta jedna pożyczona całość to dokładnie ta sama operacja co pożyczanie dziesiątki przy odejmowaniu pisemnym. Różnica jest taka, że tu pożyczamy nie dziesięć, tylko tyle, ile wynosi mianownik.

5Porządkowanie wyniku

Rachunek to nie koniec zadania. Wynik trzeba jeszcze doprowadzić do postaci, której oczekuje sprawdzający, a to zwykle dwie rzeczy.

Skrócenie — dzielimy licznik i mianownik przez tę samą liczbę, aż się nie da: 1824=912=34\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}. Można też od razu podzielić przez największy wspólny dzielnik, czyli 66.

Wyłączenie całości — gdy licznik jest większy od mianownika: 114=234\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}, bo 11:4=211 : 4 = 2 reszty 33. Ułamek niewłaściwy nie jest błędem sam w sobie, ale w zadaniach z treścią („ile ciasta zostało?”) postać mieszana jest czytelniejsza.

Warto też na koniec zerknąć, czy wynik ma sens. Suma dwóch ułamków mniejszych od jedynki nie może przekroczyć dwóch. Różnica dwóch liczb dodatnich, z których pierwsza jest większa, musi być dodatnia. Takie sprawdzenie zajmuje trzy sekundy i wyłapuje pomyłkę w mianowniku.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady w kolejności, w jakiej pojawiają się na sprawdzianie: ten sam mianownik, różne mianowniki, liczby mieszane z pożyczaniem.

Przykład 1 Ten sam mianownik

Oblicz 512+312\frac{5}{12} + \frac{3}{12} i podaj wynik w postaci nieskracalnej.

  1. Mianowniki są równe, więc od razu dodaję liczniki: 512+312=5+312\frac{\textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#16A06A}{12}} + \frac{\textcolor{#2F80D8}{3}}{\textcolor{#16A06A}{12}} = \frac{\textcolor{#E0453A}{5}+\textcolor{#2F80D8}{3}}{\textcolor{#16A06A}{12}}.
  2. 5+3=85 + 3 = 8, więc mam 812\frac{8}{12}.
  3. Skracam. Licznik i mianownik dzielą się przez 44: 8:4=28 : 4 = 2, 12:4=312 : 4 = 3.
  4. Wychodzi 23\frac{2}{3} — dalej się nie da, bo 22 i 33 nie mają wspólnego dzielnika większego od jedynki.
  5. Kontrola sensu: oba składniki są mniejsze od 12\frac{1}{2}, więc suma musi wyjść mniejsza od jedynki. 23\frac{2}{3} pasuje ✓

Odpowiedź: 23\frac{2}{3}

Mianownik 1212 przeszedł przez cały rachunek nietknięty. Jeśli w Twoim rozwiązaniu mianownik się zmienił przed skracaniem — gdzieś jest błąd.

Przykład 2 Różne mianowniki

Oblicz 34−26\frac{3}{4} - \frac{2}{6}.

  1. Mianowniki są różne, więc szukam wspólnego. Wielokrotności 44 to 4,8,12,…4, 8, 12, \ldots, wielokrotności 66 to 6,12,…6, 12, \ldots — pierwsza wspólna to 1212.
  2. Rozszerzam pierwszy ułamek razy 33: 34=3⋅34⋅3=912\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}.
  3. Rozszerzam drugi razy 22: 26=2⋅26⋅2=412\frac{2}{6} = \frac{2 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{4}{12}.
  4. Teraz mianowniki są równe, więc odejmuję liczniki: 912−412=9−412=512\frac{\textcolor{#E0453A}{9}}{\textcolor{#16A06A}{12}} - \frac{\textcolor{#2F80D8}{4}}{\textcolor{#16A06A}{12}} = \frac{\textcolor{#E0453A}{9}-\textcolor{#2F80D8}{4}}{\textcolor{#16A06A}{12}} = \frac{5}{12}.
  5. Sprawdzam, czy da się skrócić: 55 jest liczbą pierwszą, a 1212 nie dzieli się przez 55 — nie da się.
  6. Kontrola sensu: 34\frac{3}{4} to trzy czwarte całości, a 26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3} to nieco ponad jedna trzecia — odejmuję więc od trzech czwartych mniej więcej jedną trzecią, co powinno zostawić niecałą połowę. Wynik 512\frac{5}{12} jest o 112\frac{1}{12} mniejszy od 612=12\frac{6}{12} = \frac{1}{2} ✓

Odpowiedź: 512\frac{5}{12}

Można było też skrócić 26\frac{2}{6} do 13\frac{1}{3} na samym początku — wtedy wspólnym mianownikiem 44 i 33 też jest 1212 i wychodzi to samo. Skracanie przed rachunkiem prawie zawsze się opłaca.

Przykład 3 Liczby mieszane z pożyczaniem całości

Oblicz 613−2566\frac{1}{3} - 2\frac{5}{6}.

  1. Najpierw wspólny mianownik dla części ułamkowych. Szóstka dzieli się przez trójkę, więc wspólnym mianownikiem jest 66 i wystarczy rozszerzyć pierwszy ułamek: 13=26\frac{1}{3} = \frac{2}{6}. Zadanie to teraz 626−2566\frac{2}{6} - 2\frac{5}{6}.
  2. Sprawdzam, czy da się odjąć ułamki: 26\frac{2}{6} jest mniejsze od 56\frac{5}{6}, więc nie da się. Trzeba pożyczyć całość.
  3. Pożyczam jedną całość z szóstki i zamieniam ją na szóste części: 1=661 = \frac{6}{6}, więc 626=5866\frac{2}{6} = 5\frac{8}{6}, bo 66+26=86\frac{6}{6} + \frac{2}{6} = \frac{8}{6}.
  4. Teraz odejmuję osobno całości i osobno ułamki: 5−2=35 - 2 = 3 oraz 86−56=36\frac{\textcolor{#E0453A}{8}}{\textcolor{#16A06A}{6}} - \frac{\textcolor{#2F80D8}{5}}{\textcolor{#16A06A}{6}} = \frac{3}{6}.
  5. Skracam część ułamkową: 36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2}.
  6. Kontrola sensu: 6136\frac{1}{3} to około 6,36{,}3, a 2562\frac{5}{6} to około 2,82{,}8. Różnica powinna wynieść mniej więcej 3,53{,}5 — i 3123\frac{1}{2} dokładnie tym jest ✓

Odpowiedź: 3123\frac{1}{2}

Drugi sposób: zamienić obie liczby na ułamki niewłaściwe (386\frac{38}{6} i 176\frac{17}{6}) i odjąć. Wyjdzie 216=72=312\frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}. Przy większych całościach ten sposób bywa żmudniejszy, ale nigdy nie wymaga pożyczania.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy, które w zeszytach widuję najczęściej. Trzy pierwsze biorą się z jednego nieporozumienia: że mianownik jest zwykłą liczbą do liczenia.

Dodawanie mianowników

Skąd się bierze: Zapis 25+15=310\textcolor{#9b1c14}{\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{10}} wygląda konsekwentnie — skoro dodajemy liczniki, to czemu nie mianowniki. Tyle że mianownik nie jest składnikiem, tylko jednostką: mówi, jak duża jest jedna część. Dodając mianowniki, twierdzimy, że po dołożeniu kawałka czekolady kostki zrobiły się mniejsze.

Jak zrobić dobrze: Powiedz sobie na głos: „dwie piąte plus jedna piąta to trzy piąte”. Słowo „piąte” pada w każdym składniku i w wyniku — dokładnie tak samo jak „jabłka” w zdaniu „dwa jabłka plus jedno jabłko to trzy jabłka”. Mianownik jest nazwą, a nazw się nie dodaje.

Rozszerzenie samego mianownika

Skąd się bierze: Uczeń sprowadza 23\frac{2}{3} do dwunastu i pisze 212\frac{2}{12}, bo pamięta, że mianownik ma się zmienić, a licznik „zostaje”. To zmniejsza ułamek czterokrotnie — z 23\frac{2}{3} robi się 16\frac{1}{6} — i cały dalszy rachunek jest już bezużyteczny.

Jak zrobić dobrze: Rozszerzanie to mnożenie całego ułamka przez jedynkę w przebraniu: 23=23⋅44=812\frac{2}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} = \frac{8}{12}. Zapisuj tę jedynkę, dopóki nie wejdzie w krew — wtedy nie da się o liczniku zapomnieć.

Odejmowanie mniejszego ułamka od większego „na skróty”

Skąd się bierze: Przy 514−2345\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4} uczeń widzi, że 14\frac{1}{4} jest za małe, więc odwraca kolejność i liczy 34−14=24\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4}, dopisując wynik do całości. Wychodzi 3123\frac{1}{2} zamiast 2122\frac{1}{2} — pomyłka o całą jedynkę, a rachunek wygląda porządnie.

Jak zrobić dobrze: Gdy górny ułamek jest mniejszy, pożycz całość i zamień ją na części: 514=4545\frac{1}{4} = 4\frac{5}{4}. Jeśli pożyczanie sprawia kłopot, zamień obie liczby na ułamki niewłaściwe — ten sposób nigdy nie wymaga decyzji.

Oddanie wyniku bez skrócenia

Skąd się bierze: 48\frac{4}{8} i 12\frac{1}{2} to ta sama liczba, więc uczeń uznaje sprawę za zamkniętą. Tymczasem w kryteriach oceniania „postać nieskracalna” bywa osobnym warunkiem i za jej brak schodzi punkt, mimo poprawnego rachunku.

Jak zrobić dobrze: Wyrób sobie nawyk: po każdym wyniku zapytaj, czy licznik i mianownik mają wspólny dzielnik. Zacznij od 22, potem 33, potem 55 — w zadaniach szkolnych to prawie zawsze wystarcza. I sprawdź, czy licznik nie jest większy od mianownika, bo wtedy trzeba jeszcze wyłączyć całości.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — działania na ułamkach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Kolor pokazuje, co w co się zamienia. Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika widać, przez ile rozszerzamy pierwszy ułamek, a przez ile drugi. Przy dzieleniu przez ułamek kolorem zaznaczamy ten, który się odwraca. W zwykłych rachunkach liczby zostają czarne.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2024)1 pktśrednie

Dane są dwie liczby xx i yy:   x=45⋅(−43)  \;x = \dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right)\; oraz   y=45+(−43)\;y = \dfrac{4}{5} + \left(-\dfrac{4}{3}\right). Uzupełnij zdania.
Liczba yy jest liczbą AB.
  • A. ujemną
  • B. dodatnią
Liczba xx jest CD od liczby yy.
  • C. mniejsza
  • D. większa
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

  1. Liczba xx — mnożymy ułamki: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. 45⋅(−43)=−1615\dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{16}{15}.
  2. Liczba yy — dodajemy, więc potrzebny wspólny mianownik 15: 45=1215\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}} (razy 3), a 43=2015\textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}} (razy 5).
  3. y=1215−2015=−815y = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}} = -\dfrac{8}{15} — liczba ujemna, odpowiedź A.
  4. Porównujemy x=−1615x = -\dfrac{16}{15} z y=−815y = -\dfrac{8}{15}. Mianowniki są takie same, więc patrzymy na liczniki.
  5. Przy liczbach ujemnych większy licznik oznacza mniejszą liczbę: −1615<−815-\dfrac{16}{15} < -\dfrac{8}{15}.
  6. Zatem xx jest mniejsza od yy — odpowiedź C. Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Przydatna obserwacja: mnożąc ułamek przez liczbę większą od 1 (a 43>1\tfrac43 > 1), oddalamy się od zera. Dlatego xx leży dalej w lewo niż yy.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie liczb ujemnych „jak dodatnich” — czyli uznanie, że skoro 16>816 > 8, to −1615>−815-\tfrac{16}{15} > -\tfrac{8}{15}. Na osi liczbowej jest odwrotnie.

Zadanie 2 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Z tasiemki o długości 23\dfrac{2}{3} m odcięto kawałek o długości pół metra. Dokończ zdanie.
Pozostała po odcięciu część tasiemki ma długość
  • A. mniejszą od 15 cm.
  • B. większą od 15 cm, ale mniejszą od 16 cm.
  • C. równą 16 cm.
  • D. większą od 16 cm, ale mniejszą od 17 cm.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Odejmujemy ułamki — wspólny mianownik dla 3 i 2 to 6.
  2. 23=46\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{3}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{6}} (razy 2)  oraz  12=36\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} (razy 3).
  3. 46−36=16\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = \dfrac{1}{6} metra.
  4. Zamieniamy na centymetry: 16\dfrac{1}{6} m =1006= \dfrac{100}{6} cm =1623= 16\dfrac{2}{3} cm ≈16,67\approx 16{,}67 cm.
  5. To liczba większa od 16, ale mniejsza od 17 — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Nie zaokrąglaj za wcześnie. Gdyby ktoś przyjął 23\tfrac23 m ≈66\approx 66 cm, wyszłoby 16 cm i błędna odpowiedź C. Licz na ułamkach do samego końca.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie 16\tfrac16 m jako 16 cm (bo „szóstka”). 16\tfrac16 metra to 100:6≈16,67100 : 6 \approx 16{,}67 cm — właśnie te dwie trzecie centymetra decydują o odpowiedzi.

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pkttrudniejsze

Liczby xx, (−56)\left(-\dfrac{5}{6}\right), yy są uporządkowane rosnąco. Liczba yy jest o 0,50{,}5 większa od (−56)\left(-\dfrac{5}{6}\right), a liczba (−56)\left(-\dfrac{5}{6}\right) jest o 0,50{,}5 większa od liczby xx. Jakie wartości mają liczby xx i yy?
  • A. x=−43x = -\dfrac{4}{3} i y=−13y = -\dfrac{1}{3}
  • B. x=−76x = -\dfrac{7}{6} i y=−16y = -\dfrac{1}{6}
  • C. x=−43x = -\dfrac{4}{3} i y=−12y = -\dfrac{1}{2}
  • D. x=−76x = -\dfrac{7}{6} i y=−13y = -\dfrac{1}{3}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Zamieniamy 0,50{,}5 na ułamek o mianowniku 6, żeby wszystko liczyć w jednej „walucie”: 0,5=12=360{,}5 = \tfrac12 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}.
  2. Liczba yy jest o 0,50{,}5 większa, więc dodajemy: y=−56+36=−26=−13y = \textcolor{#16A06A}{-\dfrac{5}{6}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}.
  3. Liczba xx — tu uwaga na kierunek. To −56-\tfrac56 jest większe od xx, więc xx jest mniejsze: odejmujemy.
  4. x=−56−36=−86=−43x = \textcolor{#16A06A}{-\dfrac{5}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{8}{6} = -\dfrac{4}{3}.
  5. Zatem x=−43x = -\dfrac43 i y=−13y = -\dfrac13 — odpowiedź A.
  6. Kontrola: −43<−56<−13-\dfrac43 < -\dfrac56 < -\dfrac13, czyli liczby są uporządkowane rosnąco ✓

💡 Wskazówka: Wynik zawsze skracaj do końca — −26-\tfrac26 to −13-\tfrac13, a −86-\tfrac86 to −43-\tfrac43. Odpowiedzi w arkuszu są podane w postaci skróconej.

⚠ Najczęstszy błąd: pomylenie kierunku przy liczbie xx i dodanie zamiast odjęcia. Zdanie brzmi „−56-\tfrac56 jest większa od xx”, czyli xx leży na lewo — trzeba odjąć.

Zadanie 4 (maj 2022)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Wartość wyrażenia 425−32\dfrac{4^2}{5} - 3^2 jest równa
  • A. −295-\dfrac{29}{5}
  • B. −225-\dfrac{22}{5}
  • C. 75\dfrac{7}{5}
  • D. 615\dfrac{61}{5}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Najpierw potęgi: 42=164^2 = 16 oraz 32=93^2 = 9. Wyrażenie to 165−9\dfrac{16}{5} - 9.
  2. Żeby odjąć, zapisujemy 9 jako ułamek o mianowniku 5: 9=4559 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{45}{5}}.
  3. 165−455=−295\textcolor{#16A06A}{\dfrac{16}{5}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{45}{5}} = -\dfrac{29}{5}.
  4. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Kontrola sensu: 165\tfrac{16}{5} to nieco ponad 3, a odejmujemy 9 — wynik musi być ujemny i bliski −6-6. Odpowiedzi C i D odpadają od razu.

⚠ Uwaga na zapis 425\dfrac{4^2}{5} — kwadrat dotyczy tylko czwórki, nie całego ułamka. Gdyby podnieść do kwadratu cały ułamek, wyszłoby 1625\tfrac{16}{25} i zupełnie inny wynik.

Zadanie 5 (maj 2021)1 pktśrednie

Uzupełnij zdania.
Wartość wyrażenia 37+35\dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{5} jest liczbą AB.
  • A. mniejszą od 1
  • B. większą od 1
Wartość wyrażenia 37−35\dfrac{3}{7} - \dfrac{3}{5} jest liczbą CD.
  • C. ujemną
  • D. dodatnią
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

  1. Wspólny mianownik dla 7 i 5 to 35. Rozszerzamy: 37=1535\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{7}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} (razy 5), a 35=2135\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{5}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} (razy 7).
  2. Suma: 1535+2135=3635>1\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = \dfrac{36}{35} > 1 — odpowiedź B.
  3. Różnica: 1535−2135=−635\textcolor{#16A06A}{\dfrac{15}{35}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{21}{35}} = -\dfrac{6}{35} — liczba ujemna, odpowiedź C.
  4. Razem: B, C.

💡 Wskazówka: Można odpowiedzieć bez liczenia. Ułamki mają ten sam licznik, więc większy jest ten o mniejszym mianowniku: 35>37\tfrac35 > \tfrac37. Skoro odejmujemy większy od mniejszego — wynik ujemny. A skoro 35=1−25\tfrac35 = 1 - \tfrac25, a 37>25\tfrac37 > \tfrac25 — suma przekracza 1.

⚠ Najczęstszy błąd: dodawanie „licznik do licznika, mianownik do mianownika” (37+35=612\tfrac{3}{7} + \tfrac{3}{5} = \tfrac{6}{12}). Tak się ułamków nie dodaje — potrzebny jest wspólny mianownik.

Zadania otwarte

Zadanie 6 (maj 2021)2 pktśrednie

Paweł powiedział, że podzieli tabliczkę czekolady w taki sposób, że bratu przypadnie 12\dfrac{1}{2} całej tabliczki, siostrze 512\dfrac{5}{12} całej tabliczki, a jemu 16\dfrac{1}{6} całej tabliczki. Czy taki podział tabliczki czekolady jest możliwy? Uzasadnij swoją odpowiedź.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: Nie — części sumują się do 13/12, czyli więcej niż cała tabliczka

  1. Cała tabliczka to jedna całość, czyli 1. Sprawdzamy więc, ile daje suma wszystkich trzech części.
  2. Wspólny mianownik dla 2, 12 i 6 to 12. Rozszerzamy każdy ułamek:
  3. 12=612\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{12}} (razy 6)  ·  512\dfrac{5}{12} zostaje bez zmian  ·  16=212\textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{12}} (razy 2).
  4. Sumujemy: 612+512+212=1312\textcolor{#16A06A}{\dfrac{6}{12}} + \dfrac{5}{12} + \textcolor{#E0453A}{\dfrac{2}{12}} = \dfrac{13}{12}.
  5. Otrzymaliśmy 1312=1112\dfrac{13}{12} = 1\dfrac{1}{12}, czyli więcej niż całą tabliczkę.
  6. Odpowiedź: taki podział nie jest możliwy — Pawłowi zabrakłoby 112\dfrac{1}{12} tabliczki, bo obiecał łącznie więcej, niż ma.

💡 Wskazówka: W zadaniach „czy taki podział jest możliwy” zawsze sprawdzaj, czy części sumują się do dokładnie 1. Mniej niż 1 oznacza, że coś zostaje; więcej — że podział jest niewykonalny.

⚠ Za samą odpowiedź „nie” bez obliczeń komisja nie przyzna punktów. Trzeba pokazać sumę 1312\tfrac{13}{12} i wyraźnie napisać, że to więcej niż jedna całość.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A, C2. D3. A4. A5. B, C6. Nie — części sumują się do 13/12, czyli więcej niż cała tabliczka

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Ułamki zwykłe, klasa 5 — 14 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Ułamki zwykłe, klasa 5 — 14 kart pracy PDF z kluczem

14 kart o ułamkach zwykłych dla klasy 5: rozszerzanie i skracanie, wspólny mianownik, porównywanie, dodawanie i odejmowanie, mnożenie i…

12,90 zł

Zobacz w sklepie →
Okładka: Ułamki zwykłe, klasa 4 — 14 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Ułamki zwykłe, klasa 4 — 14 kart pracy PDF z kluczem

14 kart o ułamkach zwykłych dla klasy 4, krok po kroku: część całości i zbioru, oś liczbowa, porównywanie, liczby mieszane, dodawanie i…

12,90 zł

Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Jak dodawać ułamki o różnych mianownikach?

Najpierw sprowadź je do wspólnego mianownika, czyli takiej liczby, która dzieli się przez oba mianowniki — najwygodniej do ich najmniejszej wspólnej wielokrotności. Każdy ułamek rozszerz, mnożąc licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Dopiero potem dodaj liczniki, a mianownik przepisz bez zmian.

Jak odejmujemy ułamki?

Dokładnie tak samo jak dodajemy, tylko ze znakiem minus: przy równych mianownikach odejmujemy liczniki i przepisujemy mianownik, przy różnych najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika. Jedyna dodatkowa sytuacja to liczby mieszane, w których górny ułamek jest mniejszy od dolnego — wtedy trzeba pożyczyć jedną całość.

Czy wspólnym mianownikiem musi być NWW?

Nie musi. Każda wspólna wielokrotność zadziała, więc zwykły iloczyn mianowników zawsze jest bezpiecznym wyborem. NWW ma tę zaletę, że liczby zostają małe i wynik częściej wychodzi od razu nieskracalny. Jeśli szukanie NWW zabiera więcej czasu niż samo zadanie, mnóż mianowniki i pamiętaj o skróceniu na końcu.

Jak dodawać ułamki z całościami?

Są dwa równie dobre sposoby. Możesz dodać osobno całości i osobno części ułamkowe, a potem uporządkować wynik. Możesz też zamienić liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i policzyć wszystko naraz. Przy dodawaniu wygodniejszy bywa pierwszy sposób, przy odejmowaniu — drugi, bo nie wymaga pożyczania całości.

Kiedy trzeba pożyczyć całość?

Tylko przy odejmowaniu liczb mieszanych i tylko wtedy, gdy ułamek w odjemnej jest mniejszy od ułamka w odjemniku, na przykład w 514−2345\frac{1}{4} - 2\frac{3}{4}. Pożyczoną całość zamieniamy na tyle części, ile wynosi mianownik: 1=441 = \frac{4}{4}, więc 5145\frac{1}{4} staje się 4544\frac{5}{4} i odejmowanie da się już wykonać zwyczajnie.

Jak sprawdzić, czy wynik jest dobry?

Oszacuj go przed rachunkiem albo po nim. Zamień ułamki na liczby dziesiętne z grubsza: 13\frac{1}{3} to około 0,330{,}33, a 56\frac{5}{6} to około 0,830{,}83. Jeśli oszacowanie i wynik różnią się o rząd wielkości, błąd prawie zawsze siedzi w mianowniku. Sprawdź też, czy wynik jest skrócony do końca.

Na czym polega dodawanie ułamków zwykłych?

Dodawanie ułamków zwykłych wymaga wspólnego mianownika. Gdy mianowniki są równe, dodajemy same liczniki i mianownik przepisujemy. Gdy są różne, najpierw sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, a dopiero potem dodajemy liczniki.

Czytaj dalej

Działania na ułamkachHub działu: mnożenie, dzielenie, skracanie i wszystko pozostałeUłamki na egzaminie ósmoklasisty24 zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po krokuWspólny mianownikNWW i rozszerzanie ułamków — najtrudniejszy krok osobnoUłamki zwykłe od podstawLicznik, mianownik, ułamki właściwe i niewłaściweDodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych — przecinek pod przecinkiemJak dodawać i odejmować ułamki dziesiętne sposobem pisemnym: przecinek pod…Działania na ułamkach zwykłychWszystkie cztery działania.
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-11-09