Strona główna › Ułamki › Porównywanie ułamków — pięć sposobów i wybór najszybszego

Porównywanie ułamków — pięć sposobów i wybór najszybszego

Pytanie „który ułamek jest większy” ma pięć różnych dobrych odpowiedzi — i cała umiejętność polega na tym, żeby zobaczyć, która pasuje do konkretnej pary. Sprowadzanie do wspólnego mianownika działa zawsze, ale jest najwolniejsze; w połowie zadań ze szkoły podstawowej odpowiedź widać bez liczenia. Ta strona pokazuje wszystkie sposoby obok siebie i mówi wprost, kiedy który się opłaca.

Dział: UłamkiPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 7

Krótko: Aby porównać ułamki, sprowadzamy je do wspólnego mianownika albo do wspólnego licznika. Przy takich samych mianownikach większy jest ułamek z większym licznikiem, a przy takich samych licznikach — ten z mniejszym mianownikiem.

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

Który ułamek jest większy? Kalkulator

Wpisz ułamek (3/4), liczbę mieszaną ze spacją (1 1/2), ułamek dziesiętny (0,75) albo liczbę całkowitą (−2).

Ćwiczenie: wstaw znak

1Zacznij od spojrzenia, nie od rachunku

Zanim cokolwiek policzysz, sprawdź trzy rzeczy — zajmuje to sekundę i bardzo często kończy zadanie.

  1. Czy mianowniki są równe? Wtedy wygrywa większy licznik.
  2. Czy liczniki są równe? Wtedy wygrywa mniejszy mianownik.
  3. Czy jeden jest mniejszy od połowy, a drugi większy? Wtedy nie trzeba już nic liczyć.

Dopiero gdy wszystkie trzy zawiodą, sięgasz po mnożenie na krzyż albo wspólny mianownik.

Jak porównywać ułamki — ściąga: przy równych mianownikach porównaj liczniki, przy równych licznikach wygrywa mniejszy mianownik, ułamki po dwóch stronach połowy porównaj z jedną drugą, dwa dowolne ułamki porównaj mnożeniem na krzyż, kilka ułamków sprowadź do wspólnego mianownika, w liczbach mieszanych najpierw całości, a ułamek z liczbą dziesiętną zamień na jedną postać
Jak porównywać ułamki: siedem sytuacji i najszybszy sposób

Dlaczego mniejszy mianownik znaczy większy ułamek

To jest jedyne miejsce w tym temacie, które kłóci się z intuicją, i dlatego wraca na każdym sprawdzianie.

Ósemka jest większa niż czwórka, więc 38\frac{3}{8} wygląda na większe od 34\frac{3}{4}. Jest odwrotnie: 34>38\frac{3}{4} > \frac{3}{8}.

Obraz, który to naprawia: ta sama pizza pocięta na 44 części daje duże kawałki, a pocięta na 88 — małe. Bierzemy po trzy kawałki, ale trzy duże to więcej niż trzy małe.

Mianownik nie mówi, ile mamy — mówi, jak drobno pokrojono. Im drobniej, tym mniejszy pojedynczy kawałek.

Co jest większe: jedna druga (1/2) czy pięć dziesiątych (5/10)? Żaden ułamek nie jest większy — są równe, bo oba oznaczają połowę: 1/2 = 5/10 = 0,5; paski ułamkowe pokazują tę samą zamalowaną część
Jedna druga i pięć dziesiątych to ta sama liczba — połowa

2Ten sam mianownik i ten sam licznik

Równe mianowniki. Kawałki są tej samej wielkości, więc liczy się tylko to, ile ich wzięliśmy:

58>38\frac{\textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#16A06A}{8}} > \frac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{8}}

Pięć ósmych to więcej niż trzy ósme — tak samo jak pięć jabłek to więcej niż trzy jabłka. Zielony mianownik jest w obu ułamkach ten sam i dlatego w ogóle nie bierze udziału w porównaniu.

Równe liczniki. Bierzemy tyle samo kawałków, więc decyduje ich wielkość:

34>38\frac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{4}} > \frac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{8}}

Tu jest odwrotnie niż zwykle: większy mianownik daje mniejszy ułamek. Warto to sobie sprawdzić na skrajnym przykładzie: 12\frac{1}{2} to połowa całości, a 1100\frac{1}{100} to okruch. Licznik ten sam, a różnica ogromna.

ParaCo jest wspólneKtóra większa i dlaczego
27\frac{2}{7} i 57\frac{5}{7}mianownik57\frac{5}{7} — więcej takich samych kawałków
49\frac{4}{9} i 45\frac{4}{5}licznik45\frac{4}{5} — kawałki są większe
13\frac{1}{3} i 16\frac{1}{6}licznik13\frac{1}{3} — jedna trzecia jest większa niż jedna szósta
710\frac{7}{10} i 910\frac{9}{10}mianownik910\frac{9}{10} — dziewięć kawałków to więcej niż siedem
Porównywanie ułamków o tym samym mianowniku i tym samym liczniku na paskach: pięć ósmych jest większe od trzech ósmych, bo przy równych mianownikach wygrywa większy licznik; trzy czwarte jest większe od trzech ósmych, bo przy równych licznikach wygrywa mniejszy mianownik
Równe mianowniki i równe liczniki — porównanie bez liczenia
Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Ułamki zwykłe” (klasa 5), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Ułamki zwykłe — cały dział, klasa 5 (15 pakietów)
Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 złNAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Ułamki zwykłe”15 arkuszy w jednym pliku22,90 zł58,50 zł−35,60 złCała klasa 5, na cały rok84 arkuszy, 1,31 zł za arkusz109,90 zł
Dodaj do koszyka · cały dział · 22,90 złPobierz darmową grupę A (PDF)
✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Porównanie z połową — sposób bez liczenia

Ten sposób jest w szkole niedoceniany, a rozstrzyga zaskakująco wiele par. Polega na sprawdzeniu, po której stronie połowy leży każdy ułamek.

Ułamek jest większy od połowy, gdy licznik jest większy niż połowa mianownika. Dla 59\frac{5}{9}: połowa z 99 to 4,54{,}5, a licznik 55 jest większy — więc 59>12\frac{5}{9} > \frac{1}{2}.

Porównajmy 59\frac{5}{9} i 411\frac{4}{11}. Sprowadzanie do wspólnego mianownika 9999 byłoby żmudne. Ale:

Jeden jest po jednej stronie połowy, drugi po drugiej — więc 59>411\frac{5}{9} > \frac{4}{11} i żaden rachunek nie był potrzebny.

Porównanie ułamków z połową na osi liczbowej: cztery jedenaste leży przed jedną drugą, a pięć dziewiątych za nią, więc pięć dziewiątych jest większe; ułamek jest większy od połowy, gdy licznik jest większy niż połowa mianownika
Porównanie z połową rozstrzyga bez rachunku

Ten sam pomysł działa z jedynką: 75\frac{7}{5} jest większe od 11, a 910\frac{9}{10} mniejsze, więc 75>910\frac{7}{5} > \frac{9}{10}. Za każdym razem szukamy punktu odniesienia, po którego przeciwnych stronach leżą oba ułamki.

Trzeci punkt odniesienia: odległość do jedynki

Gdy oba ułamki są bardzo blisko 11, porównuje się to, ile im brakuje do całości.

78\frac{7}{8} brakuje 18\frac{1}{8}, a 910\frac{9}{10} brakuje 110\frac{1}{10}. Ponieważ 110<18\frac{1}{10} < \frac{1}{8}, drugiemu brakuje mniej — więc 910>78\frac{9}{10} > \frac{7}{8}.

To porównanie ma sens tylko wtedy, gdy oba liczniki są o jeden mniejsze od mianowników albo brakujące części łatwo porównać. Dla 38\frac{3}{8} i 59\frac{5}{9} ta droga nic nie da.

4Mnożenie na krzyż — sposób, który działa zawsze

Gdy szybkie sposoby zawiodą, zostaje metoda uniwersalna. Mnożenie na krzyż to skrót do wspólnego mianownika — daje ten sam wynik, ale bez wypisywania rozszerzonych ułamków.

Porównajmy 35\frac{3}{5} i 58\frac{5}{8}.

  1. Mnożę licznik pierwszego przez mianownik drugiego: 3⋅8=243 \cdot 8 = 24. Ta liczba „należy” do pierwszego ułamka.
  2. Mnożę licznik drugiego przez mianownik pierwszego: 5⋅5=255 \cdot 5 = 25. Ta liczba należy do drugiego.
  3. Porównuję: 24<2524 < 25, więc 35<58\frac{3}{5} < \frac{5}{8}.

Skąd to się bierze? Z rozszerzenia obu ułamków do wspólnego mianownika 5⋅8=405 \cdot 8 = 40:

3⋅85⋅8=24405⋅58⋅5=2540\frac{3 \cdot \textcolor{#16A06A}{8}}{5 \cdot \textcolor{#16A06A}{8}} = \frac{24}{40} \qquad \frac{5 \cdot \textcolor{#E0453A}{5}}{8 \cdot \textcolor{#E0453A}{5}} = \frac{25}{40}

Mianowniki wyszły takie same, więc decydują liczniki — a to są dokładnie te 2424 i 2525 z mnożenia na krzyż. Metoda nie jest sztuczką, tylko skróconym zapisem tej samej czynności.

Uwaga na kierunek

Najczęstsza pomyłka to przypisanie wyniku do złego ułamka. Zapamiętaj: iloczyn wędruje do tego ułamka, z którego wzięliśmy licznik.

Pomaga zapisywanie liczb nad ułamkami, a nie obok siebie: 3524\overset{24}{\frac{3}{5}} i 5825\overset{25}{\frac{5}{8}} — wtedy nie da się ich pomylić.

Metoda działa tylko dla dodatnich mianowników, czyli dla wszystkiego, co spotkasz w szkole podstawowej.

Mnożenie na krzyż w ułamkach: porównanie trzech piątych i pięciu ósmych — 3 · 8 = 24 dla pierwszego ułamka, 5 · 5 = 25 dla drugiego, 24 < 25, więc trzy piąte jest mniejsze od pięciu ósmych
Mnożenie na krzyż: iloczyn należy do ułamka, z którego wzięto licznik

5Porządkowanie kilku ułamków naraz

Zadania rzadko każą porównać dwa ułamki — częściej trzeba uporządkować cztery albo pięć od najmniejszego do największego. Mnożenie na krzyż przestaje wtedy wystarczać, bo porównuje tylko pary.

Tu wygrywa jeden wspólny mianownik dla wszystkich naraz. Uporządkujmy 23\frac{2}{3}, 34\frac{3}{4}, 56\frac{5}{6}, 712\frac{7}{12}.

  1. Szukam liczby, która dzieli się przez 33, 44, 66 i 1212. Najmniejsza taka to 1212.
  2. Rozszerzam każdy: 23=812\frac{2}{3} = \frac{8}{12}, 34=912\frac{3}{4} = \frac{9}{12}, 56=1012\frac{5}{6} = \frac{10}{12}, 712\frac{7}{12} zostaje bez zmian.
  3. Porządkuję liczniki: 7<8<9<107 < 8 < 9 < 10.
  4. Wracam do pierwotnych zapisów: 712<23<34<56\frac{7}{12} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}.

Krok czwarty jest obowiązkowy. Odpowiedź podaje się w takiej postaci, w jakiej ułamki były w treści — porządek 712<812<912<1012\frac{7}{12} < \frac{8}{12} < \frac{9}{12} < \frac{10}{12} jest prawdziwy, ale nie odpowiada na zadane pytanie.

Wspólny mianownik nie musi być najmniejszy — 2424 albo 3636 też by zadziałały. Najmniejszy jest po prostu najwygodniejszy, bo daje najmniejsze liczniki.

6Liczby mieszane, ułamki niewłaściwe i porównanie z liczbą dziesiętną

Liczby mieszane porównuje się najpierw po całościach. 315>2783\frac{1}{5} > 2\frac{7}{8}, bo trzy całości to więcej niż dwie — części ułamkowe nie mają tu nic do rzeczy, skoro każda z nich jest mniejsza od jedynki.

Dopiero przy równych całościach porównujemy części ułamkowe: w parze 4254\frac{2}{5} i 4374\frac{3}{7} liczy się już tylko 25\frac{2}{5} kontra 37\frac{3}{7}. Na krzyż: 2⋅7=142 \cdot 7 = 14 i 3⋅5=153 \cdot 5 = 15, więc 25<37\frac{2}{5} < \frac{3}{7}, a zatem 425<4374\frac{2}{5} < 4\frac{3}{7}.

Ułamek niewłaściwy zamień najpierw na liczbę mieszaną albo porównaj obie strony w tej samej postaci. Zestawienie 175\frac{17}{5} z 3123\frac{1}{2} jest mylące, dopóki jedna liczba wygląda inaczej niż druga; po zamianie 175=325\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5} widać, że całości są równe, a 25<12\frac{2}{5} < \frac{1}{2}.

Ułamek zwykły z dziesiętnym porównuje się najprościej, zamieniając ułamek zwykły na dziesiętny — czyli dzieląc licznik przez mianownik.

58=5:8=0,625\frac{5}{8} = 5 : 8 = 0{,}625

Teraz porównanie z 0,60{,}6 jest oczywiste: 0,625>0,60{,}625 > 0{,}6, więc 58>0,6\frac{5}{8} > 0{,}6.

Można też odwrotnie — zamienić dziesiętny na zwykły: 0,6=610=350{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, a potem porównać 58\frac{5}{8} z 35\frac{3}{5} na krzyż: 5⋅5=255 \cdot 5 = 25 i 3⋅8=243 \cdot 8 = 24, więc 58\frac{5}{8} jest większy ✓ Ten sam wynik dwiema drogami.

SytuacjaNajszybszy sposób
równe mianownikiporównaj liczniki
równe licznikimniejszy mianownik wygrywa
jeden po każdej stronie połowyporównanie z 12\frac{1}{2}
dwa dowolne ułamkimnożenie na krzyż
trzy i więcej ułamkówjeden wspólny mianownik
liczby mieszanenajpierw całości, potem części
ułamek i liczba dziesiętnazamień na jedną postać

7Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady w kolejności rosnącej trudności: para do porównania na krzyż, porządkowanie czterech ułamków i zadanie z treścią, w którym porównanie jest ukryte w pytaniu.

Przykład 1 Która para wymaga rachunku, a która nie

Wstaw znak <<, >> albo ==: (a) 49\frac{4}{9} i 47\frac{4}{7}, (b) 512\frac{5}{12} i 712\frac{7}{12}, (c) 47\frac{4}{7} i 59\frac{5}{9}.

  1. (a) Liczniki są równe (44 i 44), więc decyduje mianownik — i to odwrotnie: mniejszy mianownik daje większy ułamek. 7<97 < 9, więc 49<47\frac{4}{9} < \frac{4}{7}. Bez rachunku.
  2. (b) Mianowniki są równe (1212 i 1212), więc decyduje licznik: 5<75 < 7, czyli 512<712\frac{5}{12} < \frac{7}{12}. Też bez rachunku.
  3. (c) Nic się nie zgadza, ale sprawdzam połowę: dla 47\frac{4}{7} połowa z 77 to 3,53{,}5, a licznik 44 jest większy — ułamek jest większy od połowy. Dla 59\frac{5}{9} połowa z 99 to 4,54{,}5, a licznik 55 też jest większy — więc oba są większe od połowy i to nie rozstrzyga.
  4. Idę na krzyż: 4⋅9=364 \cdot 9 = 36 dla pierwszego, 5⋅7=355 \cdot 7 = 35 dla drugiego. 36>3536 > 35, więc 47>59\frac{4}{7} > \frac{5}{9}.
  5. Kontrola dziesiętna: 47≈0,571\frac{4}{7} \approx 0{,}571, a 59≈0,556\frac{5}{9} \approx 0{,}556 — zgadza się ✓

Odpowiedź: (a) 49<47\frac{4}{9} < \frac{4}{7} · (b) 512<712\frac{5}{12} < \frac{7}{12} · (c) 47>59\frac{4}{7} > \frac{5}{9}

Podpunkt (c) pokazuje, że porównanie z połową nie zawsze rozstrzyga — i to jest normalne. Sprawdzenie kosztowało dwie sekundy, a gdyby wyszło, oszczędziłoby cały rachunek. Warto próbować, byle nie upierać się przy metodzie, która akurat nie działa.

Przykład 2 Uporządkowanie czterech ułamków

Uporządkuj rosnąco: 34\frac{3}{4}, 58\frac{5}{8}, 1116\frac{11}{16}, 12\frac{1}{2}.

  1. Mianowniki to 44, 88, 1616 i 22. Każdy z nich dzieli 1616, więc wspólnym mianownikiem będzie 1616 — i nie muszę szukać dalej.
  2. Rozszerzam: 16:4=416 : 4 = 4, więc 34=3⋅44⋅4=1216\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{12}{16}.
  3. 16:8=216 : 8 = 2, więc 58=5⋅28⋅2=1016\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{10}{16}.
  4. 1116\frac{11}{16} zostaje bez zmian. 16:2=816 : 2 = 8, więc 12=1⋅82⋅8=816\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{8}{16}.
  5. Porządkuję liczniki rosnąco: 8<10<11<128 < 10 < 11 < 12.
  6. Wracam do pierwotnych zapisów: 12<58<1116<34\frac{1}{2} < \frac{5}{8} < \frac{11}{16} < \frac{3}{4}.
  7. Kontrola: 12=0,5\frac{1}{2} = 0{,}5, 58=0,625\frac{5}{8} = 0{,}625, 1116=0,6875\frac{11}{16} = 0{,}6875, 34=0,75\frac{3}{4} = 0{,}75 — kolejność się zgadza ✓

Odpowiedź: 12<58<1116<34\frac{1}{2} < \frac{5}{8} < \frac{11}{16} < \frac{3}{4}

Zwróć uwagę na krok drugi: wspólnego mianownika nie trzeba było liczyć żadnym wzorem. Wystarczyło zauważyć, że największy z mianowników — 1616 — dzieli się przez wszystkie pozostałe. To bardzo częsty układ w zadaniach szkolnych i warto go sprawdzać na początku.

Przykład 3 Porównanie ukryte w zadaniu z treścią

Ania przeczytała 58\frac{5}{8} książki, a Bartek 712\frac{7}{12} tej samej książki. Kto przeczytał więcej i o jaką część książki?

  1. Pytanie „kto więcej” to porównanie, a „o jaką część” to odejmowanie — obie czynności wymagają wspólnego mianownika, więc zrobię go raz.
  2. Mianowniki 88 i 1212. Szukam najmniejszej liczby dzielącej się przez obie: 2424 (bo 8⋅3=248 \cdot 3 = 24 i 12⋅2=2412 \cdot 2 = 24).
  3. Ania: 24:8=324 : 8 = 3, więc 58=5⋅38⋅3=1524\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}.
  4. Bartek: 24:12=224 : 12 = 2, więc 712=7⋅212⋅2=1424\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}.
  5. Porównuję liczniki: 15>1415 > 14, więc Ania przeczytała więcej.
  6. Różnica: 1524−1424=124\frac{15}{24} - \frac{14}{24} = \frac{1}{24} książki.
  7. Kontrola na krzyż: 5⋅12=605 \cdot 12 = 60 dla Ani, 7⋅8=567 \cdot 8 = 56 dla Bartka — 60>5660 > 56, ta sama odpowiedź ✓

Odpowiedź: Ania przeczytała więcej — o 124\frac{1}{24} książki.

Gdyby pytanie brzmiało tylko „kto przeczytał więcej”, wystarczyłoby mnożenie na krzyż i całe zadanie zamknęłoby się w jednej linijce. Wspólny mianownik opłacił się dopiero dlatego, że drugie pytanie i tak go wymagało — warto przeczytać całe polecenie, zanim wybierze się metodę.

8Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy to dwie strony tej samej pomyłki: przenoszenia na ułamki intuicji z liczb naturalnych.

„Większy mianownik znaczy większy ułamek”

Skąd się bierze: Przy liczbach naturalnych większa liczba znaczy więcej i ta intuicja jest wdrukowana przez cztery lata nauki. Przy ułamkach przestaje działać dla mianownika: 38>34\textcolor{#9b1c14}{\frac{3}{8} > \frac{3}{4}} jest fałszem, choć 8>48 > 4. Mianownik nie mówi, ile czego mamy — mówi, jak drobno pokrojono całość, a im drobniej, tym mniejszy kawałek.

Jak zrobić dobrze: Przy równych licznikach czytaj mianownik jako „na ile części” i wyobraź sobie pizzę. Pomaga też skrajny przykład: 12\frac{1}{2} kontra 1100\frac{1}{100} — nikt nie uzna okruchu za większy od połowy. Ten sam obraz naprawia wszystkie lżejsze przypadki.

Porównywanie samych liczników przy różnych mianownikach

Skąd się bierze: Uczeń patrzy tylko na górę i wybiera większy licznik: 512>34\textcolor{#9b1c14}{\frac{5}{12} > \frac{3}{4}}, bo 5>35 > 3. To porównanie liczby kawałków bez sprawdzenia ich wielkości — a 34=912\frac{3}{4} = \frac{9}{12}, czyli prawie dwa razy więcej. Liczniki wolno porównywać wyłącznie wtedy, gdy mianowniki są identyczne.

Jak zrobić dobrze: Zanim spojrzysz na liczniki, sprawdź mianowniki. Jeśli są różne — musisz je najpierw zrównać (wspólny mianownik) albo pominąć zrównywanie świadomie (mnożenie na krzyż, które robi to samo w tle).

Odwrócony kierunek przy mnożeniu na krzyż

Skąd się bierze: Metoda zapamiętuje się jako obrazek dwóch strzałek i po tygodniu zostaje sam obrazek. Wtedy uczeń przypisuje iloczyn 3⋅83 \cdot 8 do ułamka 58\frac{5}{8} zamiast do 35\frac{3}{5} — i dostaje odpowiedź dokładnie odwrotną do prawdziwej. Rachunek jest poprawny, wniosek fałszywy, a błąd niewidoczny w zapisie.

Jak zrobić dobrze: Zapisuj każdy iloczyn nad tym ułamkiem, z którego wziąłeś licznik, a nie w osobnej linijce. Dodatkowo zrób szybką kontrolę sensem: jeśli jeden ułamek jest wyraźnie bliżej całości, to on powinien wygrać. Gdy wynik mówi coś przeciwnego — sprawdź kierunek.

Porównywanie liczb mieszanych po częściach ułamkowych

Skąd się bierze: W parze 3183\frac{1}{8} i 2782\frac{7}{8} uczeń widzi 18\frac{1}{8} i 78\frac{7}{8}, porównuje je i orzeka, że druga liczba jest większa. Tymczasem część ułamkowa liczby mieszanej jest zawsze mniejsza od jedynki, więc nie jest w stanie nadrobić różnicy całości. 318>2783\frac{1}{8} > 2\frac{7}{8}, choć 18<78\frac{1}{8} < \frac{7}{8}.

Jak zrobić dobrze: Najpierw porównaj całości. Jeśli się różnią — koniec, część ułamkowa nie ma już znaczenia. Dopiero przy równych całościach przechodź do części ułamkowych. Kontrola przybliżeniem: 3183\frac{1}{8} to około 3,13{,}1, a 2782\frac{7}{8} to około 2,92{,}9.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — działania na ułamkach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, co w co się zamienia. Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika widać, przez ile rozszerzamy pierwszy ułamek, a przez ile drugi. Przy dzieleniu przez ułamek kolorem zaznaczamy ten, który się odwraca. W zwykłych rachunkach liczby zostają czarne.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 6 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 6 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2024)1 pktśrednie

Wypisano ułamki spełniające łącznie następujące warunki:
• mianownik każdego z nich jest równy 4,
• licznik każdego z nich jest liczbą naturalną większą od mianownika,
• każdy z tych ułamków jest większy od liczby 3 oraz mniejszy od liczby 5.
Dokończ zdanie.
Wszystkich ułamków spełniających powyższe warunki jest
  • A. sześć.
  • B. siedem.
  • C. osiem.
  • D. dziewięć.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Każdy z tych ułamków ma postać n4\dfrac{n}{4}, gdzie nn to liczba naturalna.
  2. Zamieniamy warunek na liczniki: liczby 3 i 5 też zapisujemy z mianownikiem 4, żeby móc je porównać.
  3. 3=1243 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{4}} oraz 5=2045 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{4}}.
  4. Warunek 3<n4<53 < \dfrac{n}{4} < 5 zamienia się więc na 12<n<20\textcolor{#16A06A}{12} < n < \textcolor{#E0453A}{20}.
  5. Liczniki to zatem: 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 — siedem liczb.
  6. Sprawdzamy jeszcze drugi warunek (licznik większy od mianownika, czyli n>4n > 4) — wszystkie go spełniają.
  7. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Gdy porównujesz ułamek z liczbą całkowitą, zamień tę liczbę na ułamek o tym samym mianowniku — problem zamienia się wtedy w proste porównanie liczników.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie liczników 12 i 20 do wyniku. Nierówności są ostre („większy od 3”, „mniejszy od 5”), więc same 3 i 5 nie wchodzą.

Zadanie 2 (maj 2024)1 pktśrednie

Dane są dwie liczby xx i yy:   x=45⋅(−43)  \;x = \dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right)\; oraz   y=45+(−43)\;y = \dfrac{4}{5} + \left(-\dfrac{4}{3}\right). Uzupełnij zdania.
Liczba yy jest liczbą AB.
  • A. ujemną
  • B. dodatnią
Liczba xx jest CD od liczby yy.
  • C. mniejsza
  • D. większa
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

  1. Liczba xx — mnożymy ułamki: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. 45⋅(−43)=−1615\dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{16}{15}.
  2. Liczba yy — dodajemy, więc potrzebny wspólny mianownik 15: 45=1215\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}} (razy 3), a 43=2015\textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}} (razy 5).
  3. y=1215−2015=−815y = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}} = -\dfrac{8}{15} — liczba ujemna, odpowiedź A.
  4. Porównujemy x=−1615x = -\dfrac{16}{15} z y=−815y = -\dfrac{8}{15}. Mianowniki są takie same, więc patrzymy na liczniki.
  5. Przy liczbach ujemnych większy licznik oznacza mniejszą liczbę: −1615<−815-\dfrac{16}{15} < -\dfrac{8}{15}.
  6. Zatem xx jest mniejsza od yy — odpowiedź C. Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Przydatna obserwacja: mnożąc ułamek przez liczbę większą od 1 (a 43>1\tfrac43 > 1), oddalamy się od zera. Dlatego xx leży dalej w lewo niż yy.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie liczb ujemnych „jak dodatnich” — czyli uznanie, że skoro 16>816 > 8, to −1615>−815-\tfrac{16}{15} > -\tfrac{8}{15}. Na osi liczbowej jest odwrotnie.

Zadanie 3 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Poniżej zapisano trzy liczby:   p=27⋅927+9  \;p = \dfrac{27 \cdot 9}{27 + 9}\;,   r=27+927−9  \;r = \dfrac{27 + 9}{27 - 9}\;,   s=27−927:9\;s = \dfrac{27 - 9}{27 : 9}. Który zapis przedstawia poprawnie uporządkowane liczby pp, rr, ss od najmniejszej do największej?
  • A. s, r, ps,\ r,\ p
  • B. r, s, pr,\ s,\ p
  • C. s, p, rs,\ p,\ r
  • D. r, p, sr,\ p,\ s
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Kreska ułamkowa działa jak nawias — najpierw liczymy osobno cały licznik i cały mianownik, dopiero potem dzielimy.
  2. p=27⋅927+9=24336=6,75p = \dfrac{27 \cdot 9}{27 + 9} = \dfrac{243}{36} = 6{,}75.
  3. r=27+927−9=3618=2r = \dfrac{27 + 9}{27 - 9} = \dfrac{36}{18} = 2.
  4. s=27−927:9=183=6s = \dfrac{27 - 9}{27 : 9} = \dfrac{18}{3} = 6.
  5. Porządkujemy rosnąco: 2<6<6,752 < 6 < 6{,}75, czyli rr, ss, pp.
  6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy pp nie trzeba dzielić dokładnie — wystarczy zauważyć, że 24336\tfrac{243}{36} to niecałe 7, a s=6s = 6. To już rozstrzyga kolejność.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie „po kolei od lewej” bez traktowania kreski jak nawiasu — np. 27⋅9:27+927 \cdot 9 : 27 + 9, co daje zupełnie inny wynik.

Zadanie 4 (maj 2021)1 pktśrednie

Dane są cztery liczby zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:
x=−62,5+30x = -62{,}5 + 30  ·  y=−14,4−12,6y = -14{,}4 - 12{,}6  ·  t=−12:0,3t = -12 : 0{,}3  ·  u=−8,02⋅6u = -8{,}02 \cdot 6
Która z tych liczb jest największa?
  • A. xx
  • B. yy
  • C. tt
  • D. uu
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Liczymy każdą wartość osobno:
  2. x=−62,5+30=−32,5x = -62{,}5 + 30 = -32{,}5
  3. y=−14,4−12,6=−27y = -14{,}4 - 12{,}6 = -27
  4. t=−12:0,3=−40t = -12 : 0{,}3 = -40 (dzielenie przez liczbę mniejszą od 1 zwiększa wartość bezwzględną)
  5. u=−8,02⋅6=−48,12u = -8{,}02 \cdot 6 = -48{,}12
  6. Wszystkie są ujemne, więc największa jest ta najbliższa zera: −27-27, czyli liczba yy.
  7. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Wśród liczb ujemnych największa to ta o najmniejszej wartości bezwzględnej — najbliżej zera na osi liczbowej.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) wybór uu jako „największej”, bo 48,12 to największa liczba — ale ze znakiem minus jest najmniejsza; (2) policzenie −12:0,3-12 : 0{,}3 jako −4-4 zamiast −40-40.

Zadanie 5 (marzec 2021)1 pktśrednie

Która z poniższych nierówności jest prawdziwa?
  • A. 259<239\dfrac{25}{9} < \dfrac{23}{9}
  • B. 54+52>4\dfrac{5}{4} + \dfrac{5}{2} > 4
  • C. 1317⋅3>3917\dfrac{13}{17} \cdot 3 > \dfrac{39}{17}
  • D. 1112>1113\dfrac{11}{12} > \dfrac{11}{13}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. A — ten sam mianownik, więc decyduje licznik: 25>2325 > 23, czyli 259>239\tfrac{25}{9} > \tfrac{23}{9}. Nierówność jest odwrotna — fałsz.
  2. B — 54+52=1,25+2,5=3,75\dfrac{5}{4} + \dfrac{5}{2} = 1{,}25 + 2{,}5 = 3{,}75, a to mniej niż 4 — fałsz.
  3. C — 1317⋅3=3917\dfrac{13}{17} \cdot 3 = \dfrac{39}{17}, czyli obie strony są równe. Nierówność ostra „>>” nie zachodzi — fałsz.
  4. D — ten sam licznik (11), więc decyduje mianownik: im mniejszy mianownik, tym większy ułamek (dzielimy na mniej części). Skoro 12<1312 < 13, to 1112>1113\dfrac{11}{12} > \dfrac{11}{13} ✓ — prawda.
  5. Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Dwie reguły, które załatwiają większość porównań: ten sam mianownik → większy licznik wygrywa; ten sam licznik → mniejszy mianownik wygrywa (bo tort dzielony na mniej kawałków daje większe kawałki).

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C — przy szybkim czytaniu 1317⋅3\tfrac{13}{17} \cdot 3 wygląda na coś większego, ale to dokładnie 3917\tfrac{39}{17}. Znak „>>” wymaga ścisłej większości.

Zadanie 6 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Liczbą większą od 13\dfrac{1}{3} jest
  • A. 300900\dfrac{300}{900}
  • B. 300900−1\dfrac{300}{900 - 1}
  • C. 300900+1\dfrac{300}{900 + 1}
  • D. 300−1900\dfrac{300 - 1}{900}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Punkt wyjścia: 13=300900\dfrac{1}{3} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{300}{900}} — wszystkie odpowiedzi to warianty tego samego ułamka.
  2. A to dokładnie 300900=13\textcolor{#16A06A}{\dfrac{300}{900}} = \dfrac13 — równe, więc nie większe ✗
  3. B — mianownik zmniejszony o 1. Mniejszy mianownik przy tym samym liczniku daje większy ułamek ✓
  4. C — mianownik zwiększony, więc ułamek jest mniejszy ✗
  5. D — licznik zmniejszony, więc ułamek jest mniejszy ✗
  6. Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Dwie reguły: przy tym samym mianowniku większy licznik → większy ułamek, przy tym samym liczniku większy mianownik → mniejszy ułamek. Tu wystarczyło zobaczyć, gdzie stoi minus.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D — intuicja podpowiada, że „minus w liczniku i minus w mianowniku zachowują się tak samo”. Zachowują się dokładnie odwrotnie.

Zadanie 7 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Ile spośród liczb   23\;\dfrac{2}{3}, 12\dfrac{1}{2}, 1025\dfrac{10}{25}, 14  \dfrac{1}{4}\; spełnia warunek 25<x<35\dfrac{2}{5} < x < \dfrac{3}{5}?
  • A. Jedna liczba.
  • B. Dwie liczby.
  • C. Trzy liczby.
  • D. Cztery liczby.
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne. Granice: 25=0,4\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{5}} = \textcolor{#16A06A}{0{,}4} oraz 35=0,6\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{5}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6}.
  2. 23≈0,667\dfrac{2}{3} \approx 0{,}667 — to więcej niż 0,6\textcolor{#E0453A}{0{,}6} ✗
  3. 12=0,5\dfrac{1}{2} = 0{,}5 — mieści się między 0,4\textcolor{#16A06A}{0{,}4} a 0,6\textcolor{#E0453A}{0{,}6} ✓
  4. 1025=25=0,4\dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5} = \textcolor{#16A06A}{0{,}4} — to dokładnie granica, a nierówność jest ostra, więc nie liczy się ✗
  5. 14=0,25\dfrac{1}{4} = 0{,}25 — mniej niż 0,4\textcolor{#16A06A}{0{,}4} ✗
  6. Warunek spełnia tylko jedna liczba — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Warto znać na pamięć: 15=0,2\tfrac15 = 0{,}2, 14=0,25\tfrac14 = 0{,}25, 13≈0,33\tfrac13 \approx 0{,}33, 12=0,5\tfrac12 = 0{,}5, 23≈0,67\tfrac23 \approx 0{,}67, 34=0,75\tfrac34 = 0{,}75. Oszczędza mnóstwo czasu na egzaminie.

⚠ Najczęstszy błąd: zaliczenie 1025\tfrac{10}{25}. Po skróceniu to dokładnie 25\tfrac25, czyli granica przedziału — a znak „<<” jej nie obejmuje.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B2. A, C3. B4. B5. D6. B
7. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Ćwicz dalej: karty pracy z kluczem

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Jeśli chcesz poćwiczyć więcej, tu są zestawy kart do druku na ten temat, z kluczem odpowiedzi.

Okładka: Ułamki zwykłe, klasa 4 — 14 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Ułamki zwykłe, klasa 4 — 14 kart pracy PDF z kluczem

14 kart o ułamkach zwykłych dla klasy 4, krok po kroku: część całości i zbioru, oś liczbowa, porównywanie, liczby mieszane, dodawanie i…

12,90 zł

Zobacz w sklepie →
Okładka: Ułamki zwykłe, klasa 5 — 14 kart pracy PDF z kluczem

Karty pracy · sklep

Ułamki zwykłe, klasa 5 — 14 kart pracy PDF z kluczem

14 kart o ułamkach zwykłych dla klasy 5: rozszerzanie i skracanie, wspólny mianownik, porównywanie, dodawanie i odejmowanie, mnożenie i…

12,90 zł

Zobacz w sklepie →

9Pytania i odpowiedzi

Jak sprawdzić, który ułamek jest większy?

Najpierw sprawdź, czy nie da się bez liczenia: przy równych mianownikach wygrywa większy licznik, przy równych licznikach — mniejszy mianownik. Jeśli nic nie pasuje, użyj mnożenia na krzyż albo sprowadź oba ułamki do wspólnego mianownika i porównaj liczniki.

Dlaczego 13\frac{1}{3} jest większe od 14\frac{1}{4}, skoro 3<43 < 4?

Bo mianownik mówi, na ile części podzielono całość, a nie ile ich mamy. Dzieląc tort na 33 części, dostajesz większe kawałki niż dzieląc go na 44. Przy równych licznikach zawsze wygrywa ten ułamek, który ma mniejszy mianownik.

Na czym polega porównywanie ułamków przez mnożenie na krzyż?

Mnożysz licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego i odwrotnie, a potem porównujesz oba iloczyny. Iloczyn należy do tego ułamka, z którego wziąłeś licznik. Dla 35\frac{3}{5} i 58\frac{5}{8}: 3⋅8=243 \cdot 8 = 24 i 5⋅5=255 \cdot 5 = 25, więc 35<58\frac{3}{5} < \frac{5}{8}. To skrócony zapis sprowadzania do wspólnego mianownika.

Jak uporządkować kilka ułamków od najmniejszego do największego?

Sprowadź wszystkie do jednego wspólnego mianownika, uporządkuj liczniki, a na koniec wróć do pierwotnych zapisów. Mnożenie na krzyż tu nie wystarcza, bo porównuje tylko pary. Często wystarczy sprawdzić, czy największy z mianowników nie dzieli się przez wszystkie pozostałe — wtedy on jest wspólnym mianownikiem.

Jak porównać liczby mieszane?

Najpierw porównaj części całkowite — jeśli się różnią, one rozstrzygają i część ułamkowa nie ma znaczenia, bo zawsze jest mniejsza od jedynki. Dopiero przy równych całościach porównaj części ułamkowe zwykłym sposobem.

Jak porównać ułamek zwykły z liczbą dziesiętną?

Sprowadź obie liczby do tej samej postaci. Najprościej podzielić licznik przez mianownik: 58=0,625\frac{5}{8} = 0{,}625, więc 58>0,6\frac{5}{8} > 0{,}6. Można też zamienić dziesiętną na zwykłą (0,6=350{,}6 = \frac{3}{5}) i porównać na krzyż — wynik jest ten sam.

Czy porównanie z połową zawsze działa?

Nie — rozstrzyga tylko wtedy, gdy jeden ułamek jest mniejszy od 12\frac{1}{2}, a drugi większy. Jeśli oba są po tej samej stronie, trzeba sięgnąć po mnożenie na krzyż. Sprawdzenie kosztuje jednak sekundę, a gdy zadziała, oszczędza cały rachunek — dlatego warto zaczynać od niego.

Jak porównać ułamki o różnych licznikach i mianownikach?

Sprowadź je do wspólnego mianownika i porównaj liczniki: 49=4499\frac{4}{9} = \frac{44}{99}, 511=4599\frac{5}{11} = \frac{45}{99}, więc 49<511\frac{4}{9} < \frac{5}{11}. Szybciej na krzyż: 4⋅11=444 \cdot 11 = 44 i 5⋅9=455 \cdot 9 = 45 — ta sama odpowiedź bez rozszerzania. Kalkulator na górze strony pokazuje oba sposoby i trzeci — przez ułamki dziesiętne.

Grafiki z powiązanych tematów

Licznik, mianownik i kreska ułamkowa — UłamkiUłamkiUłamek właściwy, niewłaściwy i liczba mieszana — Ułamki zwykłeUłamki zwykłe

Czytaj dalej

Działania na ułamkachHub działu: dodawanie, mnożenie, dzielenie i skracanieUłamki zwykłe od podstawLicznik, mianownik, ułamek właściwy, niewłaściwy i nieskracalnySkracanie i rozszerzanie ułamkówBez rozszerzania nie ma wspólnego mianownika, a bez niego porównaniaDodawanie i odejmowanie ułamkówTen sam wspólny mianownik, tylko użyty do działania zamiast do porównaniaUłamki na osi liczbowejPorównywanie widziane jako położenie na osi — zadania z arkuszy CKE
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-25. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-25