Strona główna › Ułamki › Dzielenie ułamków dziesiętnych

Dzielenie ułamków dziesiętnych

Cała sztuka polega na jednym ruchu: przesuwamy przecinek w obu liczbach o tyle samo miejsc, aż dzielnik przestanie mieć przecinek. Potem dzielimy zwyczajnie. Ta strona tłumaczy nie tylko jak to zrobić, ale przede wszystkim dlaczego wolno — bo uczeń, który tego nie wie, przesuwa przecinek w jednej liczbie i nie ma jak zauważyć błędu.

Dział: UłamkiPoziom: klasy 5–6Zadań z E8: 4

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

Wyłącz kolory

1Dlaczego wolno przesuwać przecinek

Dzielenie da się zapisać ułamkiem — to ta sama rzecz zapisana inaczej: $4{,}5 : 0{,}15$ to $\frac{4{,}5}{0{,}15}$. A skoro mamy ułamek, wolno go rozszerzyć, czyli pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Wartość się nie zmieni.

Mnożenie przez $100$ to właśnie „przesunięcie przecinka o dwa miejsca w prawo”. Zielona setka stoi na górze i na dole — i dlatego wynik zostaje ten sam. Cały trik to rozszerzanie ułamka w przebraniu.

Stąd bierze się jedyna reguła, o której trzeba pamiętać: przesuwamy w obu liczbach o tyle samo miejsc. Przesunięcie tylko w dzielniku to pomnożenie samego mianownika — a to zmienia wynik stukrotnie i nic tego nie równoważy.

O ile przesuwać? O tyle, ile cyfr po przecinku ma dzielnik, bo to jego chcemy pozbawić przecinka. Dzielna może zostać z przecinkiem — dzielenie przez liczbę całkowitą jest już łatwe.

2Dzielenie przez liczbę całkowitą

To przypadek najprostszy i wart osobnego omówienia, bo do niego sprowadzamy wszystkie pozostałe.

Dzielimy pisemnie tak jak liczby naturalne, z jedną różnicą: przecinek w wyniku stawiamy dokładnie nad przecinkiem w dzielnej, w chwili gdy przez niego przechodzimy.

Sprawdzenie jest natychmiastowe: $4 \cdot 2{,}4 = 9{,}6$. Warto je robić, bo pominięty przecinek daje wynik dziesięć razy za duży, a rachunek wygląda poprawnie.

Gdy dzielna jest mniejsza od dzielnika, wynik zaczyna się od zera i przecinka: $3 : 4 = 0{,}75$. To ten sam mechanizm co przy zamianie ułamka zwykłego na dziesiętny — bo $\frac{3}{4}$ i $3 : 4$ to dokładnie to samo działanie.

Tak wygląda to pod kreską. Wynik piszesz nad kreską, cyfra nad cyfrą, a przecinek w wyniku stawiasz nad przecinkiem dzielnej. Po lewej $9{,}6 : 4$. Po prawej $3 : 4$ — gdy cyfry dzielnej się skończą, a zostaje reszta, dopisujesz zera po przecinku (na zielono) i dzielisz dalej:

3Dzielenie przez ułamek dziesiętny

Trzy kroki, zawsze te same.

1. policz, ile cyfr po przecinku ma dzielnik,
2. przesuń przecinek o tyle miejsc w prawo w obu liczbach (brakujące miejsca uzupełnij zerami),
3. podziel to, co wyszło — dzielnik jest już liczbą całkowitą.

Przykład: $6{,}3 : 0{,}07$. Dzielnik ma dwie cyfry po przecinku, więc przesuwam o dwa miejsca w obu liczbach. Z $0{,}07$ robi się $7$, a z $6{,}3$ — uwaga — $630$, bo brakujące miejsce trzeba dopisać zerem.

To dopisywanie zera jest miejscem, w którym najczęściej ginie punkt. $6{,}3$ ma tylko jedną cyfrę po przecinku, a przesuwamy o dwa miejsca — więc druga cyfra musi się skądś wziąć i bierze się z zera na końcu.

Jeszcze jeden przykład, tym razem pod kreską. $1{,}56 : 0{,}4$ — dzielnik ma jedną cyfrę po przecinku, więc przesuwasz przecinek o jedno miejsce w obu liczbach: $1{,}56 : 0{,}4 = 15{,}6 : 4$. Teraz dzielisz przez liczbę naturalną:

4Dzielenie przez 10, 100 i 1000

Ten przypadek nie wymaga żadnego rachunku — wystarczy przesunąć przecinek, ale w lewo.

Kierunek jest łatwy do zapamiętania, jeśli pomyśli się o sensie działania: dzielenie zmniejsza, więc liczba musi się zrobić mniejsza, czyli przecinek wędruje w lewo. Przy mnożeniu przez $10$ jest odwrotnie.

Gdy zabraknie cyfr, dopisujemy zera przed liczbą: $4{,}5 : 1000 = 0{,}0045$. Zero i przecinek na początku są obowiązkowe — sam zapis „${,}0045$” nie jest poprawny.

5Kiedy dzielenie się nie kończy

Nie każde dzielenie daje wynik o skończonej liczbie miejsc po przecinku. $10 : 3$ to $3{,}333\ldots$ i tak w nieskończoność.

W zadaniach szkolnych spotkasz wtedy jedno z dwóch poleceń: „wynik zaokrąglij do części setnych” albo „podaj wynik w postaci ułamka zwykłego”. Drugie jest dokładne, pierwsze wygodniejsze w zadaniach z treścią o pieniądzach czy odległościach.

Zaokrąglamy zawsze po wykonaniu całego rachunku, nigdy w trakcie. Zaokrąglenie w połowie drogi przenosi błąd na kolejne kroki i wynik potrafi rozjechać się na drugim miejscu po przecinku.

Który ułamek da rozwinięcie skończone, a który nie — to samo kryterium co przy ułamkach dziesiętnych: decyduje mianownik po skróceniu.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: dzielenie przez całkowitą, przez ułamek dziesiętny i zadanie z treścią.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy, z których dwa pierwsze biorą się z niezrozumienia, po co w ogóle przesuwamy przecinek.

8Ćwiczenia z odpowiedziami

Dzielenie ułamków dziesiętnych to zwykle klasa 5: najpierw przez 10, 100, 1000 i przez liczbę naturalną, potem przez ułamek dziesiętny. W klasie 6 wraca w działaniach na ułamkach zwykłych i dziesiętnych naraz. Nowa podstawa programowa wymaga dzielenia w przypadkach, które da się sprowadzić do dzielenia przez liczbę naturalną najwyżej trzycyfrową — wszystkie ćwiczenia poniżej są takie. Zakres klas: ułamki dziesiętne — klasy 4, 5 i 6; działanie odwrotne: mnożenie ułamków dziesiętnych.

Oblicz w pamięci

Oblicz pisemnie

Zadania tekstowe

9Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-09-23. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.