Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 28, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest
**A.** \(108\)
**B.** \(117\)
**C.** \(126\)
**D.** \(162\)
Odpowiedź
**B.** Gdy cyfra \(0\) jest cyfrą jedności, otrzymujemy \(9\cdot9=81\) liczb. Gdy jest cyfrą dziesiątek, otrzymujemy \(9\cdot4=36\) liczb. Łącznie jest ich \(81+36=117\).
Rozwiązanie krok po kroku
Rozbijamy zliczanie na rozłączne przypadki według tego, na którym miejscu stoi jedyne zero. W liczbie trzycyfrowej zero nie może stać na miejscu setek, więc są dwie możliwości.
**Przypadek 1: zero jest cyfrą jedności.** Liczba jest wtedy parzysta automatycznie. Cyfra setek może być dowolną z \(9\) cyfr niezerowych, a cyfra dziesiątek dowolną niezerową (zero już wystąpiło), czyli też \(9\). Z reguły mnożenia daje to
\[9\cdot9=81\]
liczb.
**Przypadek 2: zero jest cyfrą dziesiątek.** Cyfra jedności musi być parzysta, a przy tym niezerowa, bo zero ma wystąpić dokładnie raz — zostają \(2,4,6,8\), czyli \(4\) możliwości. Cyfra setek to dowolna z \(9\) cyfr niezerowych. Daje to
\[9\cdot4=36\]
liczb.
Przypadki są rozłączne i wyczerpują wszystkie możliwości, więc
\[81+36=117.\]
**Odpowiedź.** B. \(117\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe: XI.2) Zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania.
