Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 31, czerwiec 2011, poziom podstawowy
Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) (cyfry mogą się powtarzać).
Odpowiedź
\(17760\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Takich liczb jest bardzo dużo, więc wypisywanie ich wszystkich jest ryzykowne. Zamiast tego policzymy, **ile razy każda cyfra pojawia się na każdej pozycji** (setek, dziesiątek, jedności) i zsumujemy ich wkłady.
**Krok \(2\).** Ile jest takich liczb? Cyfrę setek wybieramy na \(4\) sposoby, dziesiątek na \(4\) i jedności na \(4\) (cyfry mogą się powtarzać), więc
\[4\cdot 4\cdot 4=64.\]
**Krok \(3\).** Ustalmy jedną konkretną cyfrę na pozycji setek, np. \(2\). Pozostałe dwie cyfry są dowolne, więc liczb zaczynających się od \(2\) jest \(4\cdot 4=16\). Tak samo każda z cyfr \(1\), \(2\), \(3\), \(4\) stoi na pozycji setek dokładnie \(16\) razy. Identycznie jest na pozycji dziesiątek i na pozycji jedności.
**Krok \(4\).** Suma wszystkich cyfr stojących na jednej ustalonej pozycji (we wszystkich \(64\) liczbach) wynosi więc
\[16\cdot(1+2+3+4)=16\cdot 10=160.\]
**Krok \(5\).** Cyfra setek wnosi do liczby wartość \(100\) razy większą niż sama cyfra, dziesiątek \(10\) razy większą, a jedności \(1\) raz. Zatem szukana suma to
\[S=160\cdot 100+160\cdot 10+160\cdot 1=160\cdot 111.\]
**Krok \(6\).** Wykonujemy mnożenie:
\[S=160\cdot 111=17\,760.\]
**Krok \(7\).** Kontrola innym sposobem: średnia cyfra to \(\frac{1+2+3+4}{4}=2{,}5\), więc średnia liczba wynosi \(2{,}5\cdot 111=277{,}5\), a suma \(64\cdot 277{,}5=17\,760\). Zgadza się.
**Uwaga.** Warunek, że cyfry mogą się powtarzać, jest kluczowy: liczby takie jak \(111\) czy \(343\) też liczymy. Gdyby cyfry nie mogły się powtarzać, liczb byłoby tylko \(4\cdot 3\cdot 2=24\).
**Odpowiedź.** Suma wszystkich takich liczb jest równa \(17\,760\).
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – poprawne zliczenie \(64\) liczb i wkładu cyfr na pozycjach.
**4 pkt** – suma \(17760\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Kombinatoryka – zlicza liczby spełniające warunki i oblicza ich sumę.
