Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, sierpień 2019, poziom podstawowy
Kwadrat liczby \(8-3\sqrt7\) jest równy
**A.** \(127+48\sqrt7\)
**B.** \(127-48\sqrt7\)
**C.** \(1-48\sqrt7\)
**D.** \(1+48\sqrt7\)
Odpowiedź
**B.** \(127-48\sqrt7\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy podnieść do kwadratu różnicę dwóch wyrażeń, więc korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia
\[(x-y)^2=x^2-2xy+y^2,\]
podstawiając \(x=8\) oraz \(y=3\sqrt7\).
**Krok \(2\).** Pierwszy składnik:
\[x^2=8^2=64.\]
**Krok \(3\).** Wyraz środkowy:
\[2xy=2\cdot 8\cdot 3\sqrt7=48\sqrt7,\]
a we wzorze stoi on ze znakiem minus.
**Krok \(4\).** Trzeci składnik - tu uwaga na kwadrat iloczynu:
\[(3\sqrt7)^2=3^2\cdot(\sqrt7)^2=9\cdot 7=63.\]
**Krok \(5\).** Składamy wszystko razem i dodajemy liczby wymierne:
\[(8-3\sqrt7)^2=64-48\sqrt7+63=127-48\sqrt7.\]
**Uwaga.** Najczęstszy błąd to policzenie \((3\sqrt7)^2=3\cdot 7=21\) albo pominięcie kwadratu przy trójce. Podnosimy do kwadratu **cały** czynnik: i \(3\), i \(\sqrt7\).
**Odpowiedź.** B: \(127-48\sqrt7\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje wyłącznie odpowiedzi.
**Klasyfikacja rzeczowa:** liczby rzeczywiste, pierwiastki i wzór na kwadrat różnicy.
