Liczby rzeczywiste
Zadanie 5, maj 2024, poziom podstawowy
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(b\) wartość wyrażenia
\[(2a+b)^2-(2a-b)^2\]
jest równa wartości wyrażenia
**A.** \(8a^2\)
**B.** \(8ab\)
**C.** \(-8ab\)
**D.** \(2b^2\)
Odpowiedź
**B.** \(8ab\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Widzimy różnicę dwóch kwadratów: \((2a+b)^2-(2a-b)^2\). Zamiast rozwijać oba nawiasy, szybciej użyć wzoru
\[x^2-y^2=(x-y)(x+y),\]
w którym \(x=2a+b\), a \(y=2a-b\).
**Krok \(2\).** Liczymy pierwszy nawias, czyli różnicę. Minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów:
\[x-y=(2a+b)-(2a-b)=2a+b-2a+b=2b.\]
**Krok \(3\).** Liczymy drugi nawias, czyli sumę:
\[x+y=(2a+b)+(2a-b)=4a.\]
**Krok \(4\).** Mnożymy otrzymane wyrażenia:
\[(2a+b)^2-(2a-b)^2=2b\cdot 4a=8ab.\]
**Krok \(5\).** Kontrola przez rozwinięcie obu kwadratów:
\[(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-4ab+b^2)=8ab.\]
Wynik ten sam.
**Uwaga.** Największa pułapka to znak przy drugim nawiasie. Jeśli ktoś zapomni zmienić znaki w \(-(2a-b)^2\), wyjdzie mu \(0\) albo \(-8ab\).
**Odpowiedź.** B: \(8ab\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
I. Sprawność rachunkowa. Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych i stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń.
**Wymagania szczegółowe:**
II.1) Zdający stosuje wzory skróconego mnożenia na \((a+b)^2\), \((a-b)^2\) i \(a^2-b^2\).
