Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 5, czerwiec 2022, poziom podstawowy
Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie
\[5-(4+2a)(4-2a)\]
jest równe
**A.** \(-4a^2-16a-11\)
**B.** \(4a^2-11\)
**C.** \(-4a^2-11\)
**D.** \(4a^2+16a-11\)
Odpowiedź
**B.** \(4a^2-11\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy strukturę iloczynu: w obu nawiasach stoją te same składniki \(4\) i \(2a\), raz dodane, raz odjęte. To dokładnie sytuacja ze wzoru na różnicę kwadratów
\[(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}.\]
Dzięki niemu nie musimy mnożyć każdego wyrazu przez każdy.
**Krok \(2\).** Przyjmujemy \(x=4\) i \(y=2a\):
\[(4+2a)(4-2a)=4^{2}-(2a)^{2}.\]
**Krok \(3\).** Liczymy oba kwadraty. Pamiętamy, że w \((2a)^{2}\) do kwadratu podnosi się **cały** iloczyn:
\[4^{2}=16,\qquad(2a)^{2}=2^{2}\cdot a^{2}=4a^{2}.\]
Zatem \((4+2a)(4-2a)=16-4a^{2}\).
**Krok \(4\).** Wstawiamy to do wyjściowego wyrażenia:
\[5-(4+2a)(4-2a)=5-\left(16-4a^{2}\right).\]
**Krok \(5\).** Opuszczamy nawias poprzedzony minusem, zmieniając znak **każdego** składnika w środku:
\[5-16+4a^{2}=4a^{2}-11.\]
**Uwaga.** Najczęstszy błąd to opuszczenie nawiasu bez zmiany znaku przy drugim składniku, co daje \(-4a^{2}-11\) (odpowiedź C). Szybkie sprawdzenie: dla \(a=0\) wyrażenie z treści wynosi \(5-4\cdot4=-11\), a nasz wynik \(4\cdot0-11=-11\) — zgadza się.
**Odpowiedź.** B: \(4a^{2}-11\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
2.1 używanie wzorów skróconego mnożenia na \((a\pm b)^2\) oraz \(a^2-b^2\).
