![Rozwiązanie zadania 10, matura z matematyki czerwiec 2025, poziom podstawowy: Funkcja f jest określona następująco: f(x)=cases-x-2 & dla x∈(-5,-2],\\0 & dla x∈(-2,1], & dla x∈(1,3].cases…](rozwiazanie.webp)
Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 10, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Funkcja \(f\) jest określona następująco:
\[f(x)=\begin{cases}-x-2 & \text{dla }x\in(-5,-2],\\0 & \text{dla }x\in(-2,1],\\x & \text{dla }x\in(1,3].\end{cases}\]
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku.
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
\(1\). Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział ... .
\(2\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział ... .
\(3\). Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji \(f\) jest przedział ... .
\(4\). Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)<f(-3)\) jest przedział ... .
Odpowiedź
\(1\). \(D_f=(-5,3]\)
\(2\). \(ZW_f=[0,3]\)
\(3\). Zbiór miejsc zerowych: \([-2,1]\)
\(4\). \((-3,1]\)
Rozwiązanie krok po kroku
Wykres składa się z trzech fragmentów odpowiadających trzem wierszom wzoru. Na rysunku widać kropkę pustą w punkcie \((-5,3)\), kropkę pełną w punkcie \((1,0)\), kropkę pustą w punkcie \((1,1)\) i kropkę pełną w punkcie \((3,3)\) — to one rozstrzygają o domknięciach przedziałów.
**Dziedzina.** Jest sumą przedziałów, w których określono kolejne wzory:
\[(-5,-2]\cup(-2,1]\cup(1,3]=(-5,3].\]
**Zbiór wartości.** Na przedziale \((-5,-2]\) funkcja \(f(x)=-x-2\) maleje: wartości \(3\) nie osiąga (bo \(x=-5\) nie należy do dziedziny), a w punkcie \(x=-2\) przyjmuje \(0\); daje to zbiór \([0,3)\). Na przedziale \((-2,1]\) jedyną wartością jest \(0\). Na przedziale \((1,3]\) mamy \(f(x)=x\), więc wartości tworzą zbiór \((1,3]\). Suma:
\[[0,3)\cup(1,3]=[0,3].\]
**Miejsca zerowe.** Na pierwszym fragmencie \(-x-2=0\) daje \(x=-2\). Na drugim \(f(x)=0\) dla każdego \(x\in(-2,1]\). Na trzecim \(f(x)=x>1\), więc miejsc zerowych tam nie ma. Razem
\[\{-2\}\cup(-2,1]=[-2,1].\]
**Nierówność \(f(x)<f(-3)\).** Najpierw obliczamy prawą stronę: \(f(-3)=-(-3)-2=1\). Nierówność \(f(x)<1\) rozwiązujemy w każdym fragmencie: z \(-x-2<1\) wynika \(x>-3\), czyli \(x\in(-3,-2]\); na \((-2,1]\) zachodzi \(0<1\), więc cały przedział; na \((1,3]\) nierówność \(x<1\) nie ma rozwiązań. Razem
\[(-3,-2]\cup(-2,1]=(-3,1].\]
**Odpowiedź.** \(1\). \((-5,3]\). \(2\). \([0,3]\). \(3\). \([-2,1]\). \(4\). \((-3,1]\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt za każde poprawnie uzupełnione zdanie, maksymalnie 4 pkt.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
Wymaganie szczegółowe: V.4) Odczytuje z wykresu dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe i przedziały; I.6) posługuje się przedziałami.
