Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 12, próbna grudzień 2005, poziom rozszerzony
Powyższy rysunek przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji wielomianowej \(W(x)\) stopnia trzeciego. Jedynymi miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby \(-2\) oraz \(1\), a pochodna \(W'(-2)=18\).
a) Wyznacz wzór wielomianu \(W(x)\).
b) Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu tego wielomianu w punkcie o odciętej \(x=3\).
Odpowiedź
**a)** \(W(x)=2(x+2)(x-1)^{2}\). **b)** \(y=48x-104\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Z rysunku odczytujemy, że wykres przecina oś \(Ox\) w punkcie \(-2\), a w punkcie \(1\) jedynie jej dotyka (jest tam minimum lokalne). Wielomian stopnia trzeciego o dokładnie dwóch miejscach zerowych ma więc jedno z nich podwójne:
\[W(x)=a(x+2)(x-1)^{2},\qquad a\neq0.\]
Obliczamy pochodną, korzystając z rozkładu:
\[W'(x)=a\left[(x-1)^{2}+(x+2)\cdot2(x-1)\right]=a(x-1)\left[(x-1)+2(x+2)\right]=3a(x-1)(x+1).\]
Z warunku \(W'(-2)=18\):
\[3a(-3)(-1)=9a=18,\qquad a=2.\]
Zatem \(W(x)=2(x+2)(x-1)^{2}=2x^{3}-6x+4\).
**b)** Dla \(x=3\)
\[W(3)=2\cdot5\cdot4=40,\qquad W'(3)=3\cdot2\cdot2\cdot4=48.\]
Styczna w punkcie \((3,40)\) ma równanie
\[y-40=48(x-3),\qquad y=48x-104.\]
**Odpowiedź.** a) \(W(x)=2(x+2)(x-1)^{2}\); b) \(y=48x-104\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**12.1. (1 pkt)** – Zapisanie wielomianu w postaci \(W(x)=a(x+2)(x-1)^{2}\), gdzie \(a\neq 0\).
**12.2. (2 pkt)** – Obliczenie współczynnika \(a\), w tym:
• 1 punkt, za obliczenie pochodnej \(W'(x)=a\cdot(x-1)^{2}+2a\cdot(x-1)\cdot(x+2)\),
• 1 punkt, za rozwiązanie równania \(W'(-2)=18\) z niewiadomą \(a\): \(a=2\).
**12.3. (2 pkt)** – Wyznaczenie równania szukanej stycznej: \(y=48x-104\), w tym:
• 1 punkt, za obliczenie \(W(3)=40\),
• 1 punkt, za obliczenie \(W'(3)=48\) i zapisanie równania stycznej.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
