Geometria analityczna
Zadanie 2, maj 2002, poziom podstawowy
Dany jest wektor \(\overrightarrow{AB}=[-3,4]\) oraz punkt \(A=(1,-2)\).
Oblicz:
a) współrzędne punktu \(B\),
b) współrzędne i długość wektora \(\vec{v}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\).
Odpowiedź
a) \(B=(-2,2)\), b) \(\vec{v}=[6,-8]\) oraz \(\lvert\vec{v}\rvert=10\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Współrzędne wektora to różnica współrzędnych jego końca i początku, więc \(\overrightarrow{AB}=[x_B-x_A,\;y_B-y_A]\). Z warunku \(\overrightarrow{AB}=[-3,4]\) i \(A=(1,-2)\) otrzymujemy
\[x_B=1+(-3)=-2,\qquad y_B=-2+4=2,\]
czyli \(B=(-2,2)\).
**b)** Mnożenie wektora przez liczbę mnoży obie jego współrzędne:
\[\vec v=-2\cdot\overrightarrow{AB}=[-2\cdot(-3),\,-2\cdot4]=[6,-8].\]
Długość wektora obliczamy ze wzoru \(|\vec v|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}\):
\[|\vec v|=\sqrt{6^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{100}=10.\]
**Odpowiedź.** \(B=(-2,2)\), \(\vec v=[6,-8]\), \(|\vec v|=10\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**2.1. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych punktu \(B\): \(B=(-2,\,2)\)
**2.2. (1 pkt)** – obliczenie współrzędnych wektora \(\vec{v}\): \(\vec{v}=[6,\,-8]\)
**2.3. (1 pkt)** – obliczenie długości wektora \(\vec{v}\): \(\lvert\vec{v}\rvert=10\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
![Rozwiązanie zadania 2 (matura z matematyki maj 2002): Dany jest wektor AB=[-3,4] oraz punkt A=(1,-2). Oblicz: a) współrzędne punktu B, b) współrzędne i długość…](rozwiazanie.webp)
