Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 3, maj 2002, poziom podstawowy
W klasie liczącej \(30\) uczniów, dziewięciu obejrzało film pt. „Nasz XXI wiek”. Wychowawca klasy otrzymał \(4\) bilety i zamierza wylosować uczniów, których zaprosi na projekcję tego filmu. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród czterech wylosowanych z tej klasy uczniów nie ma ucznia, który już ten film oglądał.
Odpowiedź
\(P(A)=\frac{19}{87}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wychowawca losuje czterech uczniów spośród \(30\), a kolejność losowania nie ma znaczenia — liczy się tylko skład czwórki. Zdarzeniami elementarnymi są więc czteroelementowe podzbiory, wszystkie jednakowo prawdopodobne:
\[|\Omega|=\binom{30}4.\]
Film widziało \(9\) uczniów, więc nie widziało go
\[30-9=21\]
uczniów. Zdarzeniu \(A\) sprzyjają czwórki złożone wyłącznie z tych \(21\) osób, czyli
\[|A|=\binom{21}4.\]
Stąd
\[P(A)=\frac{\binom{21}4}{\binom{30}4}=\frac{\frac{21\cdot20\cdot19\cdot18}{24}}{\frac{30\cdot29\cdot28\cdot27}{24}}=\frac{21\cdot20\cdot19\cdot18}{30\cdot29\cdot28\cdot27}=\frac{143\,640}{657\,720}=\frac{19}{87}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac{19}{87}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia polegającego na wylosowaniu czterech uczniów klasy: \(|\Omega|=\binom{30}{4}\)
**1 pkt** – obliczenie liczby wyników sprzyjających zdarzeniu \(A\), polegającemu na wylosowaniu czterech uczniów, którzy nie oglądali jeszcze filmu: \(|A|=\binom{21}{4}\)
**1 pkt** – obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia \(A\): \(P(A)=\frac{19}{87}\)
Łącznie \(3\) pkt.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
