Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 49, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości
\[\lvert AB\rvert=4,\qquad\lvert BC\rvert=5,\qquad\lvert AC\rvert=6.\]
Oblicz sinus najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta \(ABC\).
Odpowiedź
\[\sin\lvert\angle ACB\rvert=\frac{\sqrt7}{4}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Najmniejszy kąt leży naprzeciw najkrótszego boku \(AB\), jest nim więc kąt \(ACB\). Oznaczmy jego miarę przez \(\alpha\). Z twierdzenia cosinusów
\[4^2=6^2+5^2-2\cdot6\cdot5\cos\alpha,\]
stąd
\[60\cos\alpha=45,\qquad\cos\alpha=\frac34.\]
Kąt \(\alpha\) jest ostry, zatem z jedynki trygonometrycznej
\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac9{16}}=\frac{\sqrt7}{4}.\]
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawne obliczenie \(\sin\lvert\angle ACB\rvert=\frac{\sqrt7}{4}\)
**2 pkt** – obliczenie \(\cos\lvert\angle ACB\rvert=\frac34\)
**1 pkt** – wskazanie, że najmniejszym kątem jest \(\angle ACB\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.2) Zdający korzysta z jedynki trygonometrycznej.
VII.3) Stosuje twierdzenie cosinusów.
VIII.2) Stosuje zależność między długościami boków a miarami kątów trójkąta.
