Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 21, maj 2025, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=11\), \(|BC|=12\) oraz \(|\angle ABC|=60^{\circ}\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz **P**, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo **F** - jeśli jest fałszywe.
| Stwierdzenie | P | F |
|---|:---:|:---:|
| Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny. | P | F |
| Pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(33\sqrt{3}\). | P | F |
Odpowiedź
**F**, **P**
Rozwiązanie krok po kroku
Trzeci bok wyznaczamy z twierdzenia cosinusów:
\[\lvert AC\rvert^{2}=11^{2}+12^{2}-2\cdot11\cdot12\cos 60^\circ=121+144-132=133.\]
Ponieważ \(\sqrt{133}\approx11{,}53\) i wartość ta różni się od \(11\) oraz od \(12\), żadne dwa boki trójkąta nie są równe. Pierwsze stwierdzenie jest **fałszywe**.
Pole obliczamy ze wzoru z sinusem kąta między danymi bokami:
\[P=\tfrac12\cdot11\cdot12\cdot\sin 60^\circ=66\cdot\frac{\sqrt3}{2}=33\sqrt3.\]
Drugie stwierdzenie jest **prawdziwe**.
**Odpowiedź.** F, P
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów, gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.3) Zdający stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta \(P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin\gamma\).
