Zadanie 48 – zbiór zadań z informatora CKE 2025, poziom podstawowy

Trójkąty \(ACB\) i \(ASD\) są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt.

Odcinki styczne poprowadzone z punktu \(C\) mają równe długości, więc \(\lvert AC\rvert=\lvert BC\rvert\) i trójkąt \(ACB\) jest równoramienny. Ponadto \(\lvert AS\rvert=\lvert DS\rvert\), ponieważ oba odcinki są promieniami, zatem trójkąt \(ASD\) także jest równoramienny. Oznaczmy \(\lvert\angle BAC\rvert=\beta\). Promień \(SA\) jest prostopadły do stycznej \(AC\), więc \(\lvert\angle SAB\rvert=90^{\circ}-\beta\). Kąt \(BAD\) jest wpisany i oparty na średnicy \(BD\), dlatego ma \(90^{\circ}\). Stąd \[\lvert\angle SAD\rvert=90^{\circ}-(90^{\circ}-\beta)=\beta.\] W trójkącie \(ACB\) drugi kąt przy podstawie ma również miarę \(\beta\), a kąt przy \(C\) ma \(180^{\circ}-2\beta\). W trójkącie \(ASD\) drugi kąt przy podstawie także ma \(\beta\), a kąt przy \(S\) ma \(180^{\circ}-2\beta\). Trójkąty mają więc parami równe kąty i są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt.

**3 pkt** – poprawne przeprowadzenie pełnego dowodu podobieństwa trójkątów \(ACB\) i \(ASD\) **2 pkt** – wykazanie równości odpowiednich kątów i wykorzystanie zależności wymaganych za 1 pkt **1 pkt** – zapisanie, że oba trójkąty są równoramienne, wraz ze wskazaniem równych ramion lub odpowiednich kątów **0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań i dostrzeganie podobieństw. **Wymagania szczegółowe:** VIII.1) Zdający korzysta z własności promieni i odcinków stycznych. VIII.5) Stosuje własności kątów wpisanych. VIII.8) Korzysta z cech podobieństwa trójkątów. VIII.11) Przeprowadza dowody geometryczne.