Trójkąty
Zadanie 18, sierpień 2024, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym
\[|AB|=5,\qquad |AC|=2,\qquad \cos|\angle BAC|=\frac35.\]
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Długość boku \(BC\) tego trójkąta jest równa
**A.** \(\sqrt{17}\)
**B.** \(\sqrt{23}\)
**C.** \(\sqrt{35}\)
**D.** \(\sqrt{41}\)
Odpowiedź
**A.** \(\sqrt{17}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia cosinusów dla boku \(BC\) otrzymujemy
\[|BC|^2=|AB|^2+|AC|^2-2|AB|\cdot|AC|\cos|\angle BAC|.\]
Po podstawieniu danych:
\[|BC|^2=5^2+2^2-2\cdot5\cdot2\cdot\frac35=25+4-12=17.\]
Długość boku jest dodatnia, więc
\[|BC|=\sqrt{17}.\]
Poprawna jest odpowiedź **A**.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.4) Zdający oblicza kąty trójkąta i długości jego boków przy odpowiednich danych, rozwiązując trójkąty między innymi z wykorzystaniem twierdzenia cosinusów.
