Liczby rzeczywiste
Zadanie 21, próbna wrzesień 2022, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości \(6\), \(7\) oraz \(8\).
**Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[\cos\alpha=\frac14.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Największy kąt \(\alpha\) leży naprzeciw najdłuższego boku, czyli boku długości \(8\). Z twierdzenia cosinusów:
\[8^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cos\alpha.\]
Zatem
\[64=36+49-84\cos\alpha,\]
\[84\cos\alpha=21,\qquad \cos\alpha=\frac14.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie twierdzenia cosinusów i obliczenie \(\cos\alpha=\frac14\)
**1 pkt** – zapisanie równania \(8^2=6^2+7^2-2\cdot6\cdot7\cos\alpha\)
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.4 i VIII.2 rozwiązywanie trójkątów z wykorzystaniem twierdzenia cosinusów oraz stosowanie własności, że naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok.
