Trygonometria
Zadanie 5, próbna styczeń 2003, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości \(8\,\mathrm{cm}\) i \(12\,\mathrm{cm}\), kąt zawarty między tymi bokami ma miarę \(120^{\circ}\). Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
Odpowiedź
\[R=\frac{4\sqrt{57}}{3}\ \mathrm{cm}\approx10{,}07\ \mathrm{cm}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(c\) bok leżący naprzeciw danego kąta \(120^\circ\). Z twierdzenia cosinusów
\[c^{2}=8^{2}+12^{2}-2\cdot8\cdot12\cdot\cos 120^\circ=64+144+96=304,\]
\[c=\sqrt{304}=4\sqrt{19}\ \mathrm{cm}.\]
Z twierdzenia sinusów dla boku \(c\) i leżącego naprzeciw niego kąta \(120^\circ\)
\[2R=\frac{c}{\sin 120^\circ}=\frac{4\sqrt{19}}{\tfrac{\sqrt3}{2}}=\frac{8\sqrt{19}}{\sqrt3},\qquad R=\frac{4\sqrt{19}}{\sqrt3}=\frac{4\sqrt{57}}{3}.\]
Liczbowo \(R\approx10{,}07\ \mathrm{cm}\).
**Odpowiedź.** \(R=\dfrac{4\sqrt{57}}{3}\ \mathrm{cm}\approx10{,}07\ \mathrm{cm}\).
Klucz i zasady oceniania
**16. (1 pkt)** – obliczenie długości trzeciego boku: \(a=4\sqrt{19}\) cm.
**17. (1 pkt)** – wykorzystanie np. twierdzenia sinusów do obliczenia długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie i zapisanie, że: \(\frac{a}{\sin 120^\circ}=2R\).
**18. (1 pkt)** – obliczenie długości promienia: \(R=\frac{4\sqrt{57}}{3}\) cm.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
