Liczby rzeczywiste
Zadanie 6, próbna styczeń 2003, poziom podstawowy
Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować \(0{,}25\) litra płynu. Mamy do wyboru trzy szklanki w kształcie walca, o wewnętrznych wymiarach: pierwsza – o średnicy \(6\,\mathrm{cm}\) i wysokości \(10\,\mathrm{cm}\), druga – o średnicy \(5{,}8\,\mathrm{cm}\) i wysokości \(9{,}5\,\mathrm{cm}\) oraz trzecia – o średnicy \(6\,\mathrm{cm}\) i wysokości \(9\,\mathrm{cm}\).
Której szklanki objętość jest najbliższa \(0{,}25\) litra? Odpowiedź uzasadnij.
Odpowiedź
Najbliższa jest objętość drugiej szklanki: \(V_{1}=\pi\cdot3^{2}\cdot10=90\pi\approx282{,}7\ \mathrm{cm^{3}}\), \(V_{2}=\pi\cdot2{,}9^{2}\cdot9{,}5\approx250{,}9\ \mathrm{cm^{3}}\), \(V_{3}=\pi\cdot3^{2}\cdot9=81\pi\approx254{,}5\ \mathrm{cm^{3}}\), a \(0{,}25\ \mathrm{l}=250\ \mathrm{cm^{3}}\), więc najmniejsza różnica (około \(0{,}9\ \mathrm{cm^{3}}\)) dotyczy drugiej szklanki.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy zadanie na objętość walca połączone z porównywaniem wyników. Szklanka w kształcie walca ma objętość \(V=\pi r^2h\). Musimy policzyć trzy objętości, zamienić \(0{,}25\) litra na centymetry sześcienne i sprawdzić, która objętość różni się od tej wartości najmniej.
**Krok \(2\).** Zamieniamy jednostki: \(1\ \mathrm{l}=1000\ \mathrm{cm^3}\), więc \[0{,}25\ \mathrm{l}=0{,}25\cdot1000\ \mathrm{cm^3}=250\ \mathrm{cm^3}.\]
**Krok \(3\).** W treści podano średnice, a we wzorze występuje promień, więc dzielimy je przez \(2\): \[r_1=3\ \mathrm{cm},\qquad r_2=2{,}9\ \mathrm{cm},\qquad r_3=3\ \mathrm{cm}.\]
**Krok \(4\).** Pierwsza szklanka: \[V_1=\pi\cdot3^2\cdot10=90\pi\approx282{,}7\ \mathrm{cm^3}.\]
**Krok \(5\).** Druga szklanka: \[V_2=\pi\cdot(2{,}9)^2\cdot9{,}5=\pi\cdot8{,}41\cdot9{,}5=79{,}895\pi\approx250{,}99\ \mathrm{cm^3}.\]
**Krok \(6\).** Trzecia szklanka: \[V_3=\pi\cdot3^2\cdot9=81\pi\approx254{,}5\ \mathrm{cm^3}.\]
**Krok \(7\).** Porównujemy odległości od \(250\ \mathrm{cm^3}\): \[|V_1-250|\approx32{,}7,\qquad |V_2-250|\approx1,\qquad |V_3-250|\approx4{,}5.\] Najmniejsza różnica przypada drugiej szklance.
**Uwaga.** Najczęstszy błąd to podstawienie średnicy w miejsce promienia — objętość wyszłaby wtedy czterokrotnie za duża. Druga pułapka: pytanie brzmi, która objętość jest najbliższa \(250\ \mathrm{cm^3}\), a nie która jest największa albo najmniejsza. Trzeba więc porównywać wartości bezwzględne różnic, a nie same objętości; zauważ, że \(V_2\) jest nieco większa od \(250\), a mimo to jest najbliższa.
**Odpowiedź.** Najbliższa \(0{,}25\) litra jest objętość drugiej szklanki: \(V_{1}=90\pi\approx282{,}7\ \mathrm{cm^{3}}\), \(V_{2}=79{,}895\pi\approx250{,}99\ \mathrm{cm^{3}}\), \(V_{3}=81\pi\approx254{,}5\ \mathrm{cm^{3}}\), a \(0{,}25\ \mathrm{l}=250\ \mathrm{cm^{3}}\), więc najmniejsza różnica (około \(1\ \mathrm{cm^{3}}\)) dotyczy drugiej szklanki.
Klucz i zasady oceniania
**20. (1 pkt)** – obliczenie objętości drugiej szklanki: \(V_{2}=\pi\cdot(2{,}9)^{2}\cdot 9{,}5\approx 250{,}9\) cm\(^{3}\).
**21. (1 pkt)** – obliczenie objętości trzeciej szklanki: \(V_{3}=\pi\cdot 3^{2}\cdot 9\approx 254{,}3\) cm\(^{3}\).
**22. (1 pkt)** – zamiana jednostek objętości: np. \(0{,}25\) l \(=250\) cm\(^{3}\).
**23. (1 pkt)** – wskazanie szklanki, której objętość jest najbliższa \(0{,}25\) l.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
