Liczby rzeczywiste
Zadanie 24, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym
\[|AC|=4,\qquad |AB|=3,\qquad \cos\angle BAC=\frac45.\]
**Oblicz pole trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[P_{ABC}=\frac{18}{5}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\alpha=\angle BAC\). Ponieważ \(\cos\alpha=\frac45\), to dla kąta trójkąta
\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35.\]
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta:
\[P_{ABC}=\frac12|AB|\cdot|AC|\cdot\sin\alpha=\frac12\cdot3\cdot4\cdot\frac35=\frac{18}{5}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – obliczenie pola i wynik \(P=\frac{18}{5}\)
**1 pkt** – obliczenie \(\sin\alpha=\frac35\), wysokości \(h=\frac{12}{5}\) albo kwadratu boku \(|BC|^2=\frac{29}{5}\)
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.2, VII.3 i VIII.11 korzystanie z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), stosowanie wzoru \(P=\frac12ab\sin\gamma\) oraz funkcji trygonometrycznych do wyznaczania długości odcinków.
