Liczby rzeczywiste
Zadanie 23, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy
Przekątne równoległoboku \(ABCD\) mają długości
\[|AC|=16,\qquad |BD|=12.\]
Wierzchołki \(E\), \(F\), \(G\) oraz \(H\) rombu \(EFGH\) leżą na bokach równoległoboku \(ABCD\). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.
**Oblicz długość boku rombu \(EFGH\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[|EF|=\frac{48}{7}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy długość boku rombu przez \(s\). Trójkąty \(AEF\) i \(ADB\) są podobne, a trójkąty \(FBG\) i \(ABC\) są podobne. Zatem
\[\frac{|AF|}{s}=\frac{|AB|}{12},\qquad \frac{|BF|}{s}=\frac{|AB|}{16}.\]
Stąd
\[|AF|=\frac{|AB|s}{12},\qquad |BF|=\frac{|AB|s}{16}.\]
Ponieważ \(|AB|=|AF|+|BF|\), to
\[1=\frac{s}{12}+\frac{s}{16}=\frac{7s}{48}.\]
Wobec tego
\[s=\frac{48}{7}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(\frac{48}{7}\)
**1 pkt** – zapisanie zależności między długościami odcinków wynikającej z podobieństwa odpowiednich trójkątów
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji oraz tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.4 i VIII.8 korzystanie z własności kątów i przekątnych w równoległobokach i rombach oraz z cech podobieństwa trójkątów.
