Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 3, czerwiec 2024, poziom rozszerzony
W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(4\sqrt6\). Ponadto
\[|\angle BAC|=\alpha,\qquad |\angle ABC|=\beta\]
oraz
\[\sin(\alpha+\beta)=\frac{2\sqrt6}{7}.\]
Długość okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\) jest równa
**A.** \(14\pi\)
**B.** \(14\sqrt6\pi\)
**C.** \(49\pi\)
**D.** \(\frac{14\sqrt6}{5}\pi\)
Odpowiedź
**A.** \(14\pi\)
Rozwiązanie krok po kroku
Jeżeli \(\gamma=|\angle ACB|\), to \(\gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)\), zatem \(\sin\gamma=\sin(\alpha+\beta)\). Z twierdzenia sinusów
\[2R=\frac{|AB|}{\sin\gamma}=\frac{4\sqrt6}{\frac{2\sqrt6}{7}}=14.\]
Długość okręgu opisanego wynosi więc
\[2\pi R=14\pi.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
7. R4) Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów.
