Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 4, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
Pole trójkąta ostrokątnego o bokach długości \(5\) i \(8\) jest równe \(12\). Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa
**A.** \(5\)
**B.** \(8\)
**C.** \(\sqrt{41}\)
**D.** \(\sqrt{143}\)
Odpowiedź
**A.** \(5\)
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(\gamma\) będzie kątem między bokami długości \(5\) i \(8\). Ze wzoru na pole
\[12=\frac12\cdot5\cdot8\sin\gamma,\]
więc \(\sin\gamma=\frac35\). Trójkąt jest ostrokątny, zatem \(\cos\gamma=\frac45\). Z twierdzenia cosinusów dla trzeciego boku \(c\):
\[c^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cdot\frac45=25.\]
Stąd \(c=5\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R7.4 związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzeń sinusów i cosinusów.
