Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 5, czerwiec 2020, poziom rozszerzony
W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest trzy razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku \(BC\) stanowi \(\frac45\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta tego trójkąta i wpisz w kratki poniżej pierwsze trzy cyfry po przecinku jego rozwinięcia dziesiętnego.
Odpowiedź
\[\cos\beta=\frac{43}{45}=0{,}9555\ldots\]
W kratki należy wpisać cyfry: **\(9\), \(5\), \(5\)**.
Rozwiązanie krok po kroku
Przyjmijmy proporcjonalne długości boków
\[|AC|=5,\qquad |BC|=12,\qquad |AB|=15.\]
Najmniejszy bok to \(AC\), więc najmniejszy jest kąt \(\beta=\angle ABC\), leżący naprzeciw tego boku. Z twierdzenia cosinusów
\[|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2|AB|\cdot|BC|\cos\beta.\]
Stąd
\[\cos\beta=\frac{15^2+12^2-5^2}{2\cdot15\cdot12}=\frac{225+144-25}{360}=\frac{344}{360}=\frac{43}{45}=0{,}9555\ldots\]
Pierwsze trzy cyfry po przecinku to \(9,5,5\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wpisanie w kolejnych kratkach cyfr \(9\), \(5\), \(5\)
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R7.5 znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia cosinusów.
