Ciąg arytmetyczny
Zadanie 1, arkusz pokazowy 2008, poziom rozszerzony
Dany jest ciąg \((a_n)\) o wyrazie ogólnym
\[a_n=\frac{5-3n}{7},\qquad n=1,2,3,\ldots\]
a) Sprawdź, czy ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.
b) Oblicz, dla jakiej wartości \(x\) liczby \(a_4\), \(x^2+2\), \(a_{11}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Odpowiedź
a) Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=-\frac37\).
b) \(x=0\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) obliczamy różnicę kolejnych wyrazów:
\[a_{n+1}-a_n=\frac{5-3(n+1)}{7}-\frac{5-3n}{7}=\frac{-3}{7}.\]
Otrzymana różnica nie zależy od \(n\), więc ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=-\frac37\).
**b)** Ze wzoru ogólnego
\[a_4=\frac{5-12}{7}=-1,\qquad a_{11}=\frac{5-33}{7}=-4.\]
Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego dokładnie wtedy, gdy kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:
\[\left(x^{2}+2\right)^{2}=a_4\cdot a_{11}=(-1)\cdot(-4)=4.\]
Stąd \(x^{2}+2=2\) albo \(x^{2}+2=-2\). Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) zachodzi \(x^{2}+2\geq2>0\), więc druga możliwość odpada. Z równania \(x^{2}+2=2\) otrzymujemy \(x^{2}=0\), czyli \(x=0\).
Sprawdzenie: dla \(x=0\) trójka ma postać \((-1,2,-4)\) i jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(q=-2\).
**Odpowiedź.** Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=-\frac37\); warunek z podpunktu b) spełnia jedynie \(x=0\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Obliczenie różnicy \(a_{n+1}-a_n=-\frac37\) i stwierdzenie, że nie zależy ona od \(n\).
Wyznaczenie \(a_4=-1\) oraz \(a_{11}=-4\).
Zapisanie warunku \(\left(x^{2}+2\right)^{2}=a_4\cdot a_{11}\).
Odrzucenie możliwości \(x^{2}+2=-2\) i wyznaczenie \(x=0\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
